§3 Optimal Approximation
最佳一致逼近多项式 的构造：求 n 阶多项式 Pn(x) 使得 || Pn y || 最小。
v 1.0
直接构造 OUAP 的确比较困难，不妨换个角度，先 考察它应该具备的性质。有如下结论：
OUAP 存在，且必同时有 偏差点。 证明：存在性证明略。后者用反证法，设只有正偏差点。
y ( ) ( x xi ) ( n 1)! i 0
( n 1 ) n
达到极小？
§3 Optimal Approximation
在[ 1, 1]上求{ x1, …, xn } 使得 wn( x) ( x xi ) i 1 的||wn|| 最小。
v 2.1
n Pn1 ( x) ，要使||w || 最小就意味着 w ( x ) x 注意到 n n
令 x = cos( ) ，则 x [ 1 , 1 ]。
Tn 的重要性质：
Tn ( x ) cos(n ) cos(n· arc cos x ) 称为Chebyshev多项式
k t cos ( k 0, 1, ... , n) 时，Tn (t k ) 交错取到极大值 1 当 k n 1
{tk }称为切比雪夫交错组 若 y C[a, b] 且 y 不是 n 次多项式，则 n 次OUAP 唯一。 证明：反证，设有2个OUAP’s，分别是Pn 和 Qn 。 对于Rn 有Chebyshev交错组{ t1,…, tn+2 }使得
Pn ( x) Qn ( x) 则它们的平均函数 Rn ( x) 也是一个OUAP。 2 1 1 En | Rn (t k ) y(tk ) | | Pn (tk ) y(tk ) | | Qn (tk ) y(tk ) | En 2 2 | Pn ( t k ) y( t k ) | | Qn ( t k ) y( t k ) | E n
y
y y ( x) En
y Pn ( x)
可见Pn(x) 是 y(x)的 某一个插值多项式
y y ( x) y y ( x) En
v 2.0
如何确定
插值节点{ x0, …, xn }
x
0
的位臵，使得Pn(x) 刚好是 y 的OUAP ？ 即，使插值余项
| Rn ( x ) |
n
v 3.0
在[ 1, 1]上求函数 xn 的n1阶 OUAP。
由Chebyshev定理可推出：Pn1(x) 关于xn 有n+1个偏 差点，即wn(x)在 n+1个点上交错取极大、极小值。
v 3.1
在[ 1, 1]上求切比雪夫交错组{ t1, …, tn+1 } 。
§3 Optimal Approximation
和极小值1，即 Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
当 xk cos
xn } 为Tn(x)的n个零点。
2k 1 (k 1, ... , n) 时 Tn ( xk ) 0 ，即 {x1, …, 2n
§3 Optimal Approximation
是n阶多项式 是误差更小的多项式
§3 Optimal Approximation
（Chebyshev定理）Pn 是 y 的OUAP Pn 关于 y 在定义域 上至少有n+2个交错的 偏差点。
k 即存在点集 a t1 <…< tn+2 b 使得 Pn (tk ) y(tk ) (1) || Pn y ||
为minimax problem。
若 P( x0 ) y( x0 ) || P y || ，则称 x0 为 偏差点。
Takeyou it easy. It’s so Didn’t say it’s anot very difficult if we consider difficult problem? polynomials only.
| Pn ( x ) y( x ) | E n 设 || Pn y || max x[ a ,b ]
而对于所有的 x[a, b] 都有 Pn ( x) y( x) En En Pn ( x) y( x) En
| [ Pn ( x) / 2] y( x) | En / 2
切比雪夫多项式
考虑三角函数 cos(n ) 在[ 0, ] 上的 n + 1 个极值点。
k 当 k n ( k 0, 1, ... , n) 时， cos(n )交错达到极大值 1 和极
n k 0
小值 1 ，且存在系数 a0, …, an 使得 cos(n ) ak (cos )k
Tn(x)满足递推关系： T0(x) = 1， T1(x) = x， Tn1 ( x) 2 x Tn ( x) Tn1 ( x)
Tn(x)为 n 次多项式，首项系数为 2n1。且T2n(x)只含 x 的 偶 次幂， T2n+1(x)只含x 的 奇 次幂。 { T0(x), T1(x), … } 是[ 1 , 1 ]上关于权 ( x )
则至少在一个点上必须有 Pn (tk ) y(tk ) y(tk ) Qn (tk ) Rn (t k ) y(t k ) 0 En 0
§3 Optimal Approximation
由Chebyshev定理可推出：Pn(x) y(x) 在定义域上至少变号 n+1 次，故至少有 n+1 个根。
§3 函数的最佳逼近
最佳平方逼近：即连续型L-S逼近，在 || f ||2 ( f , f ) 意义 下，使得 || P y ||2 最小。
偏差
最佳一致逼近 在 || f || max | f ( x ) | 意义下，使得 || P y || 最小。也称
x[ a , b ]