故
e1 e0
b
e 1 1.7183
10
由 f '( x1 ) e x1 e 1
求出 x1 ln(e 1) 0.5413
e0 e0.5413
0.5413
a
1.7183
0.[0，1]上的最佳一致逼近多项式为
P( x) 0.8940 1.7183 x
22
定理2（Chebyshev定理） 设f ( x) C[a, b], Pn ( x) H，则Pn( x)是f ( x)的
最佳一致逼近的充分必要条件是f ( x) Pn ( x)在[a, b] 上至少有n 2交错点组成的交错点组。
对n 1, f ( x) P1( x)有n 2 3个交错点。
a0
f (a) f ( x1 ) 2
f
(b)
f (a)
a
x1
ba
2
这样就得到f ( x)的线性最佳一致逼近多项式为
P1( x) a0 a1 x
数值分析
数值分析
例：选取常数a, b，使max | ex (a bx) | 达到最小。 0 x1
解：设P( x) a bx为f ( x) e x在[0，1]上的最佳一致 逼近多项式。
数值分析
数值分析
定义 设函数f ( x) C[a, b], 称点集
{ xk }kn0 { x0, x1, xn } 是f ( x)在[a, b]的交错点组，当且仅当满足
f ( xk ) (1)k
f (x)
(k 0,1, 2
, n)
其中 取1或 1。
例 f ( x) sin x 在[0, 2]的交错点组{1 , 3}。
x[ 1,1]
T n( x)
max
x[ 1,1]
Pn( x)
数值分析
连续函数的最佳一致逼近
一、赋范线性空间中的最佳一致逼近
（契比雪夫意义下的逼近）
若 f ( x) C[a, b] ( C[a, b] || || )
取n 1个线性无关函数 0( x),1( x), ...,n( x) C[a, b] 张成空间 Span{0( x),1( x), ...,n( x)} C[a, b]
对 f ( x) C[a,b] 但 f ( x) , 构造逼近函数s( x)
n
s( x) c j j ( x)
j0
用
s(x) f (x)
使
||
f
( x)
s( x) ||
min
则称s( x)为f ( x)在中的最佳一致逼近函数。
例：选取常数a,b，使max | ex (a bx) | 达到最小。
数值分析
数值分析
Qn ( x)应 满 以 下 条 件 （1）Qn ( x)是n次 多 项 式 ， 在[1，1]上 有n 1个 交 错 点 ； （2）首项 系数 为1；
（3）对“0”的偏 差最 小；
Chebyshev多项式 Tn( x) cos(narccos x)
当取xk
cos
k
n
,k
0,1,
n。Tn( x)在[1,1]上
轮流取最大 1和最小值 1。
k
Tn ( xk ) cos n n
cos k
1k ，k 0,1,
n
数值分析
数值分析
定理3 在区间[1,1]上，在首项系数为1的一切
n次多项式Pn ( x)中T n ( x) 21nTn ( x)对 "0"的偏差最小.
即
max
0 x1
数值分析
数值分析
一、赋范线性空间中的最佳一致逼近
一 般 取 H span{1, x, x2 , xn }
构造
Pn ( x) H
Pn ( x) f ( x) H
这 里Pn ( x)实 际 上 是 一 个 插 值 节 点待 求 的
Lagrange插 值 多 项 式 。
定理1 若 f ( x) C[a, b]，则必存在一个多项式 Pn( x) H是f ( x)在[a, b]上的最佳一致逼近 多项式。
定义 设f ( x) C[a, b], Pn( x) H , 若在点xk上有
f ( xk ) Pn ( xk )
max
x[a ,b]
f ( x) Pn( x)
u0
称点xk是Pn ( x)的偏差点。 若f ( xk ) Pn ( xk ) u, 称xk为正偏差点； 若f ( xk ) Pn ( xk ) u, 称xk为负偏差点.
数值分析
数值分析
P1(x)=a0+a1x
f(x)
a x1
b
综合以上，可解出
f (a) (a0 a1a) f (b) (a0 a1b)
f '( x1 ) a1
f (a) (a0 a1a) ( f ( x1 ) (a0 a1 x1 ))
a1
f (b) f (a) , ba
再由f '( x1 ) a1解出x1
数值分析
数值分析
最佳一致逼近多项式的计算
下面给出n 1时最佳一致逼近多项式的求法：
设f ( x) C 2[a, b],且f ''( x)不变号。构造P1( x) a0 a1x 为f ( x)在[a，b]上的最佳一致逼近多项式。
由Chebyshev定理，对n 1，f ( x) P1( x)有n 2 3个 交错点，且a,b为交错点.设另一个交错点是x1,且a x1 b。 由交错点的定义知 f (a) (a0 a1a) f (b) (a0 a1b)
又由于在[a，b]上f ''(x)不变号，故f '(x)在[a，b]上单调。
又因为（f (x) P1( x))' f '(x) a1也是单调的。所以f (x) P1(x) 在（a，b）内只能有一个偏差点x1。于是
P1'( x1) f '( x1) a1 f '( x1) 0,即f '( x1) a1。
数值分析
数值分析
二、最小零偏差多项式问题
在区间[1,1]上求函数f ( x) xn的n 1次最佳一致
逼近多项式。 设Qn1( x)就 是 函 数f ( x) xn在[1,1]的n 1次
最佳一致逼近多项式。
n1
Qn ( x) xn Qn1( x) xn ak xk k0
在 区 间[1,1]上 应 有n 1个 交 错 点 ， 并 轮 流 达 到 其最大值和最小值。 把Qn( x)看 成 是 首1多 项 式 与 零 的 误 差 函 数， 称Qn ( x)为 最 小 零 偏 差 多 项 式 。