§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f x C a, b , 在
Hn
中都存在对
* pn x ,使得 f x 的最佳一致逼近多项式,记为
f ( x ) p n* ( x )

m in
p n ( x ) H n
f ( x) pn ( x)
由插值余项定理， n 次插值多项式 Ln x 的余项为
Rn x f x Ln x
n
f
x n 1 n 1!
n 1
其中， n 1 x x xi , 1,1
i 0
其估计式为：
对 X 中每一对元素 x , y , 都有一实数，记为 x, y 与之对应， 且这个对应满足: （1） （2） （3） （4）
x, x 0, x 0 x, x 0; x, y y, x , x, y X ; x, y x, y , x, y X ; R; x y, z x, z y, z , x, y, z X ;
* i * f 使得： ( xi ) pn ( xi ) () f pn
（i=0,1,…,n+1）
其中σ=1或σ=-1
推论4.1
设 f x 是区间 a, b 上的连续函数， * x 是 f x Pn
f 的n次最佳一致逼近多项式， 若
内存在且保号， 则
即
1 xi cos(i ) , i 0,1, 2,..., n 2 n 1
如果插值区间为[a,b],做变换式（4.63）
a b b a (i 0,1,..., n) xi ti 2 2
因而插值节点取为
ab ba 1 xi cos(i ) , (i 0,1,..., n) 2 2 2 n 1
故 Tn 为关于 x 的 n 次代数多项式。
(2)性质
正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
( x)
1 1 x2
的正交多项式序列。 且

1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
g (t ) f (
ab ba t) 2 2
近似最佳一致逼近多项式 设 f x C 1,1 , 且存在 n 1 阶连确定互异的插值节点 x0 , x1 ,.., xn , 使得 f x 的
n 次插值多项式的余项最小？
mn mn0 mn0
递推关系
相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：
T0 x 1, T1 x x n 1, 2,... Tn 1 x 2 x Tn x Tn 1 x
奇偶性： 切比雪夫多项式 Tn ，当 n为奇数时为奇函数；
P x0 f
则称
x0

max P x f x
a xb
,
x0 是 P x f ( x) 的偏差点。
若 P x0 f
若 P x0 f
x0 ,
则称
x0 为“正”偏差点。
x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
注：
以 n 1 次Chebyshev多项式的零点作为插值节点的n 次 拉格朗日插值多项式 Ln x 虽不能作为 f
x 的 n次最佳一
致逼近多项式，但由于误差分布比较均匀，因此可以作为
f x 的 n 次近似最佳一致逼近多项式。
§3 最佳平方逼近
一、内积空间
1、定义
设 X 为(实)线性空间, 在 X 上定义了内积是指
2k 1 , cos
2n
k 1, 2,..., n
Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
cos k , k 0,1, 2,..., n xk n
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。

切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
即
a0 a1a f a a0 a1b f b a0 a1a f a f x2 a0 a1 x2 f x2 a1
f b f a a1 f x2 , ba
y f x En
O
a
b
x
定理 4.10（ Chebyshev定理）
Pn* x 是 f x 设 f x 是区间 a, b 上的连续函数，则 f x P* x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: n
在区间 a, b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成， 即有 n 2 个点 a xo x1 x2 xn xn1 b
f x Ln x 1 f n1 x max n1 x n 1! max 1 x 1 1 x 1
1 f n1 x n1 x n 1!
因此，要使余项达到最小，只需使
n 1 x 尽可
x 在 a, b f x Pn* x 在区间 a, b
n 1
上恰好存在一个有 n 2 个交错偏差点， 且两 端点
a , b 都是偏差点。
四、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设
f x C a, b ，且 f x 在 a, b 内不变号， 要求
解得
f a f x2 f b f a a x2 a0 . 2 ba 2
即
f x2 f a f b f a a x2 P x 1 x 2 ba 2
2、几何意义
y
D
n 为偶数时为偶函数。
Tn x cos n arccos x cos n n arccos x
1 cos n arccos x 1 Tn x
n n

Tn 在区间[-1, 1]上有 n 个不同的零点
xk
三、 C a, b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间 a, b 上的连续函数，P* x 是 f x n
的n次最佳一致逼近多项式， 则 f x P* x 必同时 n 存在正负偏差点。
y
y f x En
y f x

* pn x 为 f x 的n次最佳一致逼近多项式。 成立. 称
简称最佳逼近多项式。
二、相关概念
1、偏差
定义 若
P x Hn , f x C a, b, 则称 n

f , Pn f Pn

max
a x b
f
x Pn x
在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式
P x n
1 ~ 中, Tn ( x ) T ( x)与零的偏差最小，且其偏差为 n 1 n 2
1 2
n1
； 即，对于任何 P x P x ， 有 n
1 ~ max Tn ( x) 0 max p( x) 0 n 1 1 x 1 1 x 1 2
一、最佳一致逼近的概念
定义 对于任意 设函数 f x 是区间 a, b 上的连续函数， 给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
max f x P x
a x b
成立， 则称多项式 P x 在区间 a, b 上一致逼近 (或均匀逼近)于函数 f x 。
能小。 注意到 n1 x 是一个首项系数为1的 n 1 次多项式，
故由Chebyshev多项式的性质，
只要取
n1 x Tn1 x
~
即可。
而
n 1 x x xi ,
i 0
n 1
故只需取xi i 0,1, 2,..., n 为 n 1 次Chebyshev多项式的零点，
N
y P x 1
M
Q
O
a
x2 b
x

设在区间[-1,1]上，函数 f ( x) x n 的（n-1）次最佳
一致逼近多项式 误差函数f(x)-
pn1 ( x)
pn1 ( x)
n
pn ( x) x pn1 ( x)
五、 Chebyshev多项式 It is very important
最佳一致逼近
王坤
x 1 xi
i 1
n
f
1
f ( x) dx
a
b
x2
x
i 1
n
2
i
f
2


b
a
f 2 ( x)dx
x

max xi
1 i n
f

max f ( x)
a x b
f g

max f ( x) g ( x)
a x b
§1 最佳一致逼近
无穷范数最小， 故有
f x Pn x ~ Tn1 ( x) a0
~ 于是 P x f x a0 Tn1 ( x) n
如果f(x)的定义区间为一般区间[a,b]，只需做变量代换
ab ba x t 2 2