(5) e
e e；
e；
(6) det e e , 其中
αα
证明 (1) 由定理 2.1.1 知
eµ
α 是 的迹．
λµ k!
若命k m l，则
eµ
但由于C
!，于是有
!!
eµ
∑
∑Cλ λ ．
!
C
λ
µ
1， l m!
λ
λ
e e µ．
m!
l!
反之亦然． (2) 由定理 2.1.1 知
i e
k!
i
i
!
!
!
6
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
d e
dt
dt dt k!
kt k 1!
t
t
l!
l!
e eA ．
(6) 设 所以
diag , , … ,
，其中 是 的 Jordan 标准型，则
e
é êe
li
eli
ê
ê
e ji
ê =ê
eli
ê
ê
ê
ê
êë
diag e , e , , … , e , ，
1 el eli
(di -1)!
现在矩阵经过两个多世纪的发展，已成为一门数学分支——矩阵论。矩阵 的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有广 泛的应用．
1.2 本文所做工作
矩阵函数是矩阵理论的重要内容，矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，是 研究其他矩阵函数的基础．本文讨论的是矩阵函数中的一类函数——矩阵指数 函数，阐述它的定义、一般基本性质、几种计算方法及这几种方法的比较，同 时阐述一下矩阵指数函数的一些应用．
摘要
矩阵函数是矩阵论中的重要一部分内容，而矩阵函数中的一个重要函 数就是矩阵指数函数，它在自控理论和微分方程中有广泛的应用，因而引 起特别的光注．本文首先总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而讨论 了矩阵指数函数的计算方法，本文选择了其中的三种方法，并且举例说明 它们的计算量，对它们进行了简单的比较，分析这三种方法的优缺点．最 后阐述矩阵指数函数在微分方程中求解的应用．
Keywords: matrix exponential function; Jordon canonical form; differential equations.
目录
1 绪论………………………………………………………………………………………1 1.1 矩阵的发展与历史…………………………………………………………………1 1.2 本文所做的工作……………………………………………………………………2
f λ , f‘ λ ,… ,f
λ , i 1,2, … , r
存在，则称函数f x 在矩阵 的谱影上有定义[1]．
一个函数可能在给定矩阵的谱上没有定义．
3
例如
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
fx
．
若
8 36 A 3 2 0 ,B
42 2
3 10 1 2 1，
0 13
与 的最小多项式分别为
Φ cΦ
cΦ cΦ 0
(1)
Φ0 ,Φ 0 , …, Φ 0
(2)
的唯一解．
证明： 首先证明问题(1)~ 2 解的唯一性．设Φ ，Φ 都是 n 阶矩阵线性
微分方程(1)的解，并且满足初值条件(2)，令Φ Φ Φ ．所以 Φ 满足阵线性
微分方程(1) ，且满足初值条件Φ 0 Φ 0
Φ 0 ．因此，
Φ 的每个元素都满足常系数n 阶线性微分方程
4 矩阵指数函数的应用………………………………………………………………… 20 4.1 微分方程中的应用……………………………………………………………… 20
参考文献………………………………………………………………………………… 24 致谢……………………………………………………………………………………… 25
根据代数基本定理，在复数域上可以证明：
性质 2.1.3 设
, λ , λ , … λ 为 的 r 个互不相同的特征值，ΨA λ 为
其最小多项式且有
ΨA λ λ λ λ λ … λ λ ， 其中 d 1 i 1,2 … , r , ∑ d m．
如果函数f x 具有足够多阶的导数值，并且下列 m 个值(称 f(x)在影谱上的值)
c Φ′ t c Φ t
则矩阵函数f 定义为f
p．
4
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
2.2 矩阵指数函数的性质
定理 2.2.1 [1] 设 为
， 的谱半径为ρ，若函数f x 的幂级数表示式
fx
cx
|x| ρ，
则当ρ ∞时
f
c．
根据定理 2.2.1 可以得到一系列矩阵函数的幂级数表示式，如
e
1
1
；
2!
n!
1
1
sin
3! 5!
1 1
；
2n 1 !
1
1
cos
2! 4!
1 1
．
2n !
定理 2.2.2 [1] 设 ,
，则
(1) e e µ e µ ，λ, µ ；
(2) e cos i sin ， i √ 1 ；
(3) 当
时，有
e
ee ee；
5
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
(4) 对于任何矩阵 ，e 总是可逆的，并且 e
2 矩阵函数的定义及矩阵指数函数的性质………………………………………………2 2.1 矩阵函数定义………………………………………………………………………2 2.2 矩阵指数函数的性质………………………………………………………………4
3 矩阵指数函数的三种计算方法…………………………………………………………8 3.1 第一种方法…………………………………………………………………………8 3.2 第二种方法…………………………………………………………………………12 3.3 第三种方法…………………………………………………………………………16 3.4 三种方法的比较……………………………………………………………………19
λ tr λ
是 的化零多项式，即c
．
定理 3.1.2 [3] 设 n 阶方阵 的特征多项式是
1 det
c λ det λ
λ cλ
cλ c．
当D d⁄dt时，矩阵指数函数e 的每个元素都满足 n 阶线性微分方程c D y 0， 并且Φ t e 是 n 阶矩阵线性微分方程
9
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
关键词：矩阵指数函数；Jordon 标准形；微分方程组
ABSTRACT
Matrix functions constitute an important part of the Matrix theory. Among them the matrix exponential function is the most important one, it has wide applications in many fields such as control theory and theory of differential equations. In this paper, we first summarize the basic properties of the matrix exponential functions. Then, we introduce and review three computational methods and point out their advantages and disadvantages. Finally, the matrix exponential functions are applied to solve ordinary differential equations.
1
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质．1854 年，约当研究 了矩阵化为标准型的问题．1892 年，梅茨勒 (Metzler)引进了矩阵函数的概念 并将其写成矩阵的幂级数形式．傅立叶(Fourier)和庞加莱(Poincare)还讨论了无 限阶矩阵问题．
ú ú
ú
%%
#
ú ú
%
eli
ú ú
eli
ú
， úû di ´di
det e det det diag e , e , , … , e , det
det e det e … det e
e e …e
e
8
e．
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
3 矩阵指数函数的三种计算方法
矩阵指数函数的计算方法有很多种，本章主要研究了其中的三种．这三种 方法各有不同，其中涉及到微分方程的求解、Jordan 标准型、特征多项式等知 识．
!
!
cos i sin ．
i
!
!
(3) 因为当
时，二项式公式
C
成立，因此
1 e
k!
1 C
．
k!
由证明(1)过程中知上式右端可写成
或
，
m! l!
m! l!
故
e
ee ee．
(4) 因为矩阵指数函数e ，由(1)得
e
ee
，
故
e
e．
7
中国矿业大学（北京）2011 届本科生毕业设计（论文）
(5) 因为矩阵指数函数的幂级数表示式对给定 与对一切 t 都是绝对收敛 的．而且对 t 是一致收敛，所以