双曲函数在物理学中的应用摘 要：数学上有两个十分重要的函数，一个是自然指数函数，还有一个就是双曲函数，因为这两个重要的函数都离开不了e 。

所以我们可以知道双曲函数是一类用指数函数定义的初等函数。

双曲函数在生活中有着广泛的应用，它就存在我么的身边。

双曲函数就是根据悬链线推到出的函数。

在上个世纪六十年代以来西方的桥梁建筑中就出现了悬链线形状的拱桥，坚固程度可谓是坚不可摧。

足以说明双曲函数的重要性。

双曲函数在数学中也有着很重要的地位，从悬链线到繁衍几何和双曲几何，都应用到了双曲函数，同是在数学某些相应的方程中也出现了和双曲函数有关的解，比如说拉普拉斯方程就是用其来定义的。

可见其在数学中的重要性。

本文给出了双曲函数的定义，并例举一些典型的例子说明其在物理学中也有着十分广泛应用，使读者对双曲函数予以其足够的重视。

关键词：双曲函数 物理学 悬链线 阻尼落体 电容引 言：双曲函数是雅比•伯努利及其他数学家根据两端固定于两个固定点的均匀绳索，在只受自身重力的作用下形成的曲线推导出来的。

由于指数函数具有自己独特的性质，很多函数都用其表示，双曲函数也是这样一类用指数函数定义的函数。

十七世纪雅比•伯努利提出了两端固定于两个固定点的均匀绳索，在只受自身重力的情况下形成的曲线是什么曲线的问题。

一开始他本人和伽利略都误以为是一条抛物线，但随后雅比•伯努利和一些其他的数学家用微分方程推导出了这条曲线的方程，进而发现这是一个新的函数“双曲函数”。

这条线就是我们所谓的悬链线。

双曲函数(hyperbolic function)的定义 双曲正弦2)(e e zz shz --=双曲余弦2)(chz e ze z-+=双曲正切)()(chz shz thz e e e e zzzz--+-==双区余切)()(e e e e zzzzshz chz cthz ---+==双曲正割chz hz 1sec =双曲余割shz hz 1csc =其中，其中，指数函数由无穷级数定义...!...!4!3!2!11432z+++++++=n z z z z z en双曲函数的反函数反双曲正弦：()2ln1arshz z z =±+反双曲余弦：()2ln1archz z z =±-反双曲正切：11l n 21za r t h zz+=-双曲函数的性质：221c h z s h z -=c o t h1t h z z ⋅=221sech th z z -=22coth 1csch z z-=()s hxys h x c h y c h x s h y±=± ()c h x y c h x s h y s h x c h y±=±()1t h x t h y t hxyt h x t h y±±=±22s h x s h x c h x=222222121ch x ch x sh x ch x sh x =+=-=+2221t h x t h xt h x=+双曲函数与三角函数的关系sin shz i iz=-c o s c h z i z=tan thz i iz=-coth cot z i iz =sech sec z iz =c s c h c s c z i c i z=下面让我们来用几个相应的例子来说明双曲函数在物理中也是有着广泛的应用。

2.双曲函数在物理学中的应用 2.1导线电容在真空中，横截面半径为R 1和R 2的两条平行直导线，它们之间的距离为d(d>R 1+R 2)，已知它们无限长。

求它们间单位长度的电容。

解：设这两条无限长的导线单位长度的电荷量为λ和-λ 因为这两条导线是处于静电平衡的前提条件之下，所以他们是等势体，我们用偶极线取代这两条无限长的平行直导线[1]。

合理的摆放偶极线，让偶极线产生的等势面和前面的两根带点直导线的表面相互重合在一起。

这样就满足了边界条件。

在这里面的偶极线是无限长的两条相互平行的直线，它们带电是均匀的，并且它们单位长度的带电量分别为λ和-λ，这偶极线就是所谓的电像[1]。

所以要想算出电容，就给先弄出这偶极线的等势面[1]。

以偶极线所处的平面为z-x 平面，取笛卡儿坐标系，把这两条偶极线对称的摆放在笛卡尔坐标系中z 轴的两边，并且让它们和z 轴之间的间距全部为a 。

如图1中我们所看到的一样，则我们所要求得偶极线的等势面为[2]图1：带点导线与其电像12φφφ=+''01022(2)ln()(2)ln()r r r r λπελπε=+- (1)''02112(2)ln ()()r r r r λπε⎡⎤=⎣⎦(2)式子中'1r 和'2r 是偶极线和某个电势参考点之间的长度。

为了计算时的方便，我们可以让z 轴上面的电势是零，所以''12r r a==，进而上面的式子可以化为，012(2)ln()r r φλπε= (3)因为偶极线是对称的摆放在z 轴的两边的，所以对于偶极线来说，只要是平行于z 轴的任意一条直线就都是它的等势线[1]。

所以我们只要在z-y 平面内选取任意的一个点p （x ，y ）进行分析就可以了。

于是{}2222220(4)ln ()()x a y x a y φλπε⎡⎤⎡⎤=++-+⎣⎦⎣⎦ (4)所以偶极线的等势方程为()2222222()x a y x a yk⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦(5)式中042k e πεφλ= (6)令 ()221(1)c k k a ⎡⎤=+-⎣⎦ (7)则()2222222()x a y x a yk ⎡⎤⎡⎤++-+=⎣⎦⎣⎦ (8)可化为()222222()41x c y k k a ⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦(9)这表明，只要是轴线和z 轴平行的所有圆柱面都是我们先求的等势面，并且这些等势面的轴线都在z=c 处，所以可以知道它们横截面的半径是22(1)R k ka=- (10)这个结果告诉我们，要想让这条偶极限的两个等势面和那两条无穷长的平行直导线的表面重合。

这只需要下面的等式成立就可以了： ()2211111(1)a c k k a ⎡⎤==+-⎣⎦ (11)()211121R kka=-(12)()()22222211a c k k a ⎡⎤==+-⎣⎦ 13)()222221Rkka=-(14)12da a=+(15)由上面第一个到第四个式子得：222221122a R a a R -==-(16)原来两条导线表面的方程是()222111:R x a y R -+= (17)()222222:R x a yR ++=(18)利用（16）式，可以把（17）和（18）式分别化为：22212x y a a x ++= （19）22222x y a a x++=- （20） 利用（19）和（20）两式，再由（4）式可以计算出，半径是R 1和 R 2的两条导线的电势分别是()[]1011=4ln ()()a a a a φλπε+- （21）[]2022(4)ln ()()a a a a φλπε=-+-（22）所以两条导线的电势差便为()()()12012122ln U a a a a R R λπε=Φ+Φ=+-⎡⎤⎣⎦(23)用已知量去掉未知量，能计算出：()()22222220112112(2)ln 221U d R R R R d R R R R λπε⎡⎤⎡⎤=--+---⎢⎥⎣⎦⎣⎦(24) 得到前面两条平行直导线为1这一段的电容是()()22222220121212122ln 221C Q U l d R R R R d R R R R πε⎡⎤⎡⎤==--+---⎢⎥⎣⎦⎣⎦(25) 则单位长度的电容为()()2222222121212122ln 221c d R R R R d R R R R πε⎡⎤⎡⎤=--+---⎢⎥⎣⎦⎣⎦(26) 利用反曲余弦关系式2ln (1)archx x x ⎡⎤=+-⎣⎦ （27）则本题的精确解简洁表示为 ()2220121222c a r c h d R R RR πε⎡⎤=--⎣⎦ (28)2.阻尼落体空气中，同时受到重力和阻力作用的一个质量为m 的小石块从静止开始自由下落[4]，受到的阻力与它下落速度的平方成正比[，速度用v 表示，阻尼系数用μ表示，重力加速度用g 表示[5-8]，求下落速度与所用时间的关系。

解：小石块所遵循的运动方程为：2mdv dt mg v =-μ （29）根据标准变换方式，设()()'v m z z =μ（30）代入（29）式，化简为，()''0z g m z -μ=（31）而（31）式的通解为()()12expexp z C g m t C g m tμμ=+-（39）其中，1C 和2C 是任意常数。

因为小石块最初是静止不动的，所以一开始时的条件是()00v =（32）则这等价于'(0)0z = （33）因此容易得出21C C =- (34)将（34）式代入到（39）式中，然后再将（39）式代入到（30）式中，就可得到相应条件的答案[9-10]()t a n hv m g g m tμμ= （35）图2：阻尼落体时速度和时间的关系从上面的图像可以看出，最初的时候，小石块是静止的，所以速度为零。

刚刚开始的时候由于小石块的速度非常的小，所以它几乎不受到阻力的作用，它的运动和自由落体运动非常的相似，所以图中一开始的图像几乎是一条以g 为斜率的直线，随着时间的增加，小石块的速度越来越大，因为阻力和速度的平方是正比关系，所以，阻力增加的特别的快，当小石块的速度增加到一定程度时，此时的阻力和重力相等，加速度为零，速度也不在增加，所以，在图中一段时间后的图像是一条平行于t 轴的一条直线。

3、粒子运动轨迹一个静止时质量是0m ，电荷量是q 的粒子在一个匀强电场E 中运动，z E Ee =方向为z 轴方向，这个粒子从原点开始出发，初始速度沿着y 轴的方向。

证明这个粒子的其运动的轨迹是()()001x W qE ch qEy p c =-⎡⎤⎣⎦ （36）式子中0p 是粒子开始运动是的动量值，0W 是它的能量。

解：这个电荷量为q 粒子其运动方程能够写成[11-15]()dp dt q E v B =+⨯式子中的p 是粒子的动量，v 是粒子的速度。

221p mv mv v c ==-(37)本题运动方程的分量表示为00x y z d p q Ed p d p ⎧=⎪=⎨⎪=⎩(38)解之得：123x t y z p qE C P C P C ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩ (39)代入t=0时的起始条件0(0)0(0)(0)0x y z p p p p ⎧=⎪=⎨⎪=⎩（40）定出积分常数后，可以知道00x t y z p qE p p p ⎧=⎪=⎨⎪=⎩(41)粒子的能量为2W mc =22240p c m c=+()2222240xy z pp p c m c =+++222220q E c t W =+因2222220x t d d qEt m qEc tq E c t W ==+（42）积分得2222220x q E c tqEc tW d t⎡⎤=+⎣⎦⎰22222200q E c t W W qE⎡⎤=+-⎣⎦（43）由（41）式得2222220d yd t p m p c q E c tW==+（44）积分得2222220y p c q E c tW dt⎡⎤=+⎣⎦⎰()()00p c qE arsh qEct W = （45）或()()00y qEct W sh qE p c =（46）在（43）和（46）式中消去t ，有()()2001y x W qE sh qE p c ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦（47） 利用恒等变换公式221c h x s hx -= （48）(47)式可以写成()()201o x W q E c hq E y p c⎡⎤=-⎣⎦（49）则（49）式是一种悬链线分析： ()212!44!66!......c h x x x x =+++ (50)当0vc →时，保留前面的两项得()222x qEm v y =（51）图3：粒子的运动轨迹(51)式是抛物线的轨迹，这说明非相对论是相对论在0v c →时的极限。