平方差与完全平方公式教案与答案15.2.1 平方差公式知识导学221. 平方差公式：(a+b) (a-b)=a -b即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。
典例解悟例1. 计算：( 1 ) (2x+3y)(2x-3y) (2)22(-4m2-1)(-4m 2+1)解：(1) (2x+3y)(2x-3y)=(2x) 2-(3y) 2=4x2-9y 2(2)2 2 2 2 2 4(-4m2-1)(-4m 2+1)=(-4m2) 2-1 2=16m4-1感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。
其中第( 2)题中的相同项是 -4m2, 不能误以为含有负号的项一定是相反项。
例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y), 其中 x=8,y=-8.解：原式 =(x 2-4y2)-(y 2-4x2)=5x2-5y 2.当 x=8, y=-8 时，原式=5X 82-5 x (-8) 2=0.感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。
在本题(2x-y)(-2x-y) 中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为(-y+2x)(-y-2x)。
阶梯训练A级1. 下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是()A. (-a-b)(a+b)B.(-a-b)(a-b)C.(-a+b)(a-b)D.(a+b)(a+b)2. 在下列各式中，计算结果是a2 -16b2的是()A. (-4b+a) ( -4b-a)B.(-4b+a)(4b-a)C・(a+2b) (a-8b) D.(-4b-a)(4b-a)3. 下列各式计算正确的是( )2A. (x+3) (x-3 ) =x -3B. (2x+3) (2x-3 ) =2x2 -9C. (2x+3) (x-3 ) =2x2 -9D. (2x+3) (2x-3 ) =4x2 -94. (0.3X-0.1 ) (0.3X+0.1 ) = _____5. (ix+^4y) (Ix-^y) = ______6. (-3m-5n) (3m-5n) = ______8.(b 3+3a 2)9.( |m+l n)(|m-1 n)10. |(-3x -4 )7. 计算i ii i(-2X+ 3 )(- 2X-3)(3a 2-b 3)；(3X 2-4 )11.计算(a+3b) (a-3b) - (2b+5a) (-5a+2b)12.先化简下面的代数式，再求值:(a+2) (a-2)+a(4-a), 其中 a= 2+1B 级1.下列式子可用平方差公式计算的是（）A. （ a-b ） （ b-a ）B. （ -x+1 ） （x-1 ）C. （ -a-b ）（ -a+b）D. （ -x-1 ）（x+1）2. 4x2- (2x-3y ) (2x+3y)的计算结果是( )A. 9y 2B. -9yC. 3yD. 2x 2+3y23. (x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是( )A. x 4+16B. — x4-1644. (-a+1) (a+1);5.( 2x+3y)( iy-ix)C. x -16D. 16-x6.(a- 1)(a+2)(a2+1)(a4+£)7.化简：(x-y ) (x+y) + (x-y ) + (x+y)8. 解方程：(-4x- …4x)=2x(8x-5)2 2 5C级求 (3+1)(3 2+1)(3 4+1)(3 8+1)(3 16+1) 的值15.2.2 完全平方公式知识导学：1. 完全平方公式：2 2 2(a+b)2=a2+ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍．2. 公式中的a和b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。
利用完全平方公式运算，把握公式结构特征，正确找出公式中的 a、b 是解题的关键。
3. 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
典例解悟例 1．（1）（1+x）2-12xy-9y(2) ( 1a-b );⑶(-5x-^y)2⑷(2x+3y)(-2x-3y).22解：⑴(1+x) =x +2x+1.(2) ( 2a-b ) 2=(1a)2-2 x *a.b+b 2=4a 2-ab+b 2⑶C 5 * £ y)2=H 1 x+ 紬)]2=( 5 x)2+2 x £ x x10y+(細2=討+帥+訝2(4) (2x+3y) (-2x-3y ) =- (2x+3y) =-[ (2x) 2+2 ・ 2x ・ 3y+(3y) ]=-4x 感悟：本题是套用完全平方公式的乘法运算， 其 中第(3)小题有两种解法，法一如解答所示， 法二是直接运用公式，将-1x 作为整体，运用两5数差的完全平方公式计算；第(4)小题必须添 上括号后，转化为完全平方的形式后再完全平方 公式运算。
例2•计算： (1)(a-2b-3c )2;(2)(a+b-2c((a+b+2c)解：1. (a-2b-3c )2=[a- (2b+3c) ]2=a 2-2a (2b+3c) + (2b+3c) 2=a 2-4ab-6ac+[ (2b ) 2+2X 2b x 3c+ (3c ) 2]2 2 2=a 2 +4b 2 +9c 2-4ab-6ac+12bc ；(2) ( a+b-2c )( a+b+2c ) =[ ( a+b )2 2 2 2 2 -2c][(a+b)+2c]=(a+b) 2- (2c) 2 =a2 +2ab+b2 -4c2感悟：本题第( 1)题通过添括号的方法转化为完全平方的形式，再计算。
第( 2)题通过添括号的方法转化为平方差的形式，再计算。
阶梯训练A级1. 下列各式中，计算正确的是( )A (2a+b) 2=4a2+b2B (m-n) 2=m2-n22 2 2C (-5x+2y) 2=25x2-10xy+4y 2 D2 2 2(-x-y) =x +2xy+y2. 下列各式中，运算结果为1-2xy 2+x2y4的是()A( -1-x 2y2) 2B (-1+xy 2) 2C (1-x 2y2) 2D22(-1-xy 2) 23. 计算( a+2b) 2+(a-2b) 2的结果是( )2 2 2 2 2 2A 2a2B 4b 2C 2a 2-8b2D 2a 2+8b2224. 若( x+m) 2=x2+nx+9, 则 m= _____ ,n= ____ .5. 计算( 2a+1) 2(2a-1) 2= _______6. 若 a2+b2=5,ab=2,则(a+b) 2= _____ .7. (-x+2y)8. (2x-y)9. (3b- 1a)210. (-2x-3y)211.(2x+y-1)12.DBD2(x+y) -(x-y) B 级1. 计算(x+3) (x-3)(x 2-9)的结果是( ) A x 34-81 B x 4+18X 2+81 C x 4-81 X 4-18X 2+81 2. 化简(a+1)2-(a-1) 2, 得() 2A 2B 4C 4aD 2a+23 下列各式中，不能成立的是( )A (3a-2b) 2=9a 2-12ab+4b 22 2(a+b-c) =(c-a-b) C ( 2 x-y) 2= 4 x 2-xy+y 2(x+y)(x-y)(x 2-y 2)=x 4-y 44 a 2+b 2=(a+b)2+ _____ a 2+b 2=(a-b) 2+ _____ 5. -------------- 亦-( --------------------- 计n 2=( )6. (5x- ___ )2= _____ - ____ +16y27. 计算：(3x-2 ) 2(3x+2) 28.2(x-y) -(y+2x)(y-2x)9. 先化简:(2x-1) 2+(X+2)(X-2)-4X(X-1)，再求值,其中x= 310. 已知X2-4=0,求 x(x+1) 2-x(x 2+X)-X-7的值C级已知 a+b=3,ab=-18,求-a2+-b2的值3 3附录参考答案：1521 平方差公式阶梯训练A级1. B2. D3. D4.0.09x 2-0.015. ^x2- -y26.25n 2-9m27.9 16，1x2-1 8. 9a4-b6 9.細2-卜210. 16 9x411.原式4 9 9 4=a2-9b2-(4b2-25a2)=26a2-13b212.解：原式=a2-4+4a-a 2=4a-4当 a= 2+1 时，原式=4 ( 2+1) -4=4 2 B级1.C2. A3. C4"2 5. 9y21x26. a8缶7.原式=x2 y2 2x8. 解:16x2- 16x2-x4 5 1 2x4 5・ 5・・x8(3-1)(3+1)(3 3+1)(34+1)(38+1)(316+1)= (32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)= 332-1 3-1 3-1 215.2.2完全平方公式阶梯训练A级5.提示：先用平方差公式，再用完全平方公式1.D 2.B 3.D 4.3,63 27. 4y 2 4xy x 2 8. 4x 2 4xy y 2 9. 9b 2 2ab 詁 2 10. 原式=16a 4 8a 216. 912. 4xy 1.D 2.C 3.D11.2 2 4x y 4xy 4x 2y 1 4. -2ab,2ab 5. 1mn 2 6.4y, 25x 2,40xyx 2 7 (18)] 15 7.81x 4 72x 2 16 8. 5x 2 2xy9■解：原式=4x 2 4x 1 x 2 4 4x 2 4x = x 2 当 x 3 时，原式=(.3 ) 2-3 = 3-3 = 0 10■解：原式=x(x 2 2x 1) X (X 2 x) x 7 = 当 x 2-4=0 时，原式=4-7=-3 C 级解：原式=1(a 2b 2) 1[(a b)22ab]弓322 33 34x 12xy 9y。