分析：由于M=max(X,Y)不大于 z 等价于X和Y都不大 于z，故有
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布 函数为:
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是
例5 设X和Y相互独立，X~B(n1, p),Y~B(n2, p),求 Z=X+Y 的分布.
我们可以按照前面的方法来求解，也可以换 一种方法.
回忆二项分布直观背景, 设在一次试验中事件A 出现的概率为p.
将该试验分别独立重复n1次和n2次, 设 X 是n1次 试验中A出现的次数, 设Y 是n2次试验中A出现的次 数.
z2
e 2( 2 )2 2
例10 设X和Y是两个相互 独立的随机变量,它们都服
从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度 。
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
z2
e 2( 2 )~ N (0, ( 2)2 )
可以类似地证明，若X和Y 独立,
X
~
1x
综合,有
0,
z0
FZ
(
z)
2
z
z2 / z2
2, /2
1,
0 z 1 1 z 2
1,
z2
所以
z
dx z,
0
0 z 1
fZ
(z)
1
dx
z 1
0,
2
z,
1 z 2 其它
3. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量， 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y), 我们 来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函 数.
交换积分次序
u u=z
y
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概
率密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
f (x, y)dxdy (x, y)z
f (z) F(z)
例8 已知X ,Y相互独立, 且均服从N (0, 2 ) ( 0),求Z X 2 Y 2的概率密度.
解: 由于
fX (x)
1
2
exp
x2
2 2
fY ( y)
1
2
exp
y2
2 2
且X,Y 相互独立, 所以
FY
(
y)
1
ey 0, y
,y 0
0
解：（1） Z =min (X，Y)的分布函数为
FZ (z) 1[1 FX (z)][1 FY (z)]
1
e(
)
z
,
z0
0,
z0
1 e( )z , z 0
FZ (z)
0,
z0
于是， Z =min (X，Y)的概率密度为
( )e( )z , z 0
1, Z 0,
X Y X Y
求Z的分布
例7 设X、Y的联合概率密度概率函数为
e(xy) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
y=x
其中，为大于0的常数。引入随机变量
1, X Y Z 0, X Y
求Z的分布
解： P(Z 1) P(X Y ) f (x, y)dxdy
2. 连续型随机变量(X, Y)函数Z = (X, Y)的分布
设已知(X, Y)的概率密度f(x, y), 求 Z = (X, Y)
的分布。
当Z为离散型随机变量时，求Z的分布律即可。
例7 设X、Y的联合概率密度概率函数为
e(xy) , x 0, y 0
f (x, y) 0,
其他
其中，为大于0的常数。引入随机变量
f
( x,
y)
1
2
2
exp
x2
2
y2
2
Z X2 Y2
设Z的分布函数和概率密度分别为 FZ (z), fZ (z).
当z 0时, FZ (z) 0 当z 0时,
FZ (z) P{Z z} P{ X 2 Y 2 z}
f ( x, y)dxdy x2 y2 z
采取极坐标变量替换
x r cos
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分 别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
fZ (z) fX (z y) fY ( y)dy
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
这两个公式称为卷积公式 .
例10 设X和Y是两个相互 独立的随机变量,它们都服
是直线x+y =z 左下 方的半平面.
将上述积分化成累次积分,得
zy
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
zy
FZ (z)
[
f (x, y)dx]dy
固定z和y,对方括号内的积分作变量
代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z)
[ f (u y, y)du]dy
z
[ f (u y, y)dy]du
dy
y
e ( x y ) dx
x y
eydy
y exdx
0
0
0
0
ey (1 ey )dy
0
1, Z 0,
X Y X Y
求Z的分布
P(Z
1)
解： P(Z 0)
1 P(Z 1) 1
当Z= （X，Y）为连续型随机变量时，求Z的
分布函数或密度函数。
FZ(z)=P(Z z) =P{ （X，Y） z}
用与二维时完全类似的方法，可得M=max(X1,…,Xn) 的分布函数为:
FM (z) FX1 (z) …FXn (z)
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是
FN (z) 1 [1 FX1 (z)] … [1 FXn (z)]
特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数 F(x)时，有
Z X1 X2 Xn 的概率分布. 解: 设每次试验成功的概率是p,全班同学一共
进行了m m1 m2 mn次独立重复试验.
则 试验成功总次数Z ~ B(m, p).
例6说明, 如果 Xi 服从二项分布B(mi, p), i=1,2, …,n. X1,…,Xn相互独立，则
Z=X1+…+Xn~B(m1+…+mp, p)
1, 0 x 1
1, 0 y 1
fX (x)
0,
其它 ,
fY (y)
0,
其它
求Z=X+Y的概率密度 .
解: 用分布函数法
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
f (x, y)dxdy x yz
f X (x) fY ( y)dxdy x yz
1, 0 x 1
FM(z)=[F(z)] n FN(z)=1-[1-F(z)] n
例12. 设系统L由两个相互独立的子系统L1, L2连接而 成，连接的方式分别为（1）串联；（2）并联；（3）
备用。设L1, L2的寿命分别为X，Y,他们的概率密度 分别为:
f
X
(
x)
ex , x
0, x
0
0,
ey , y 0
1, 0 y 1
fX (x)
0,
其它
fY (y)
0,
其它
FZ (z) P(Z z) f X (x) fY ( y)dxdy
x yz
当z 0, FZ (z) 0;
当0 z 1,
y
FZ (z)
z
dx
zx dy z 2 / 2;
0
0
x+y=z
x+y=z
x
1, 0 x 1
其它
于是, Z的概率密度为
f
Z
(
z)
z
2
exp
z2
2
2
,
z
0
0,
其它
我们称上述分布或概率密度为瑞利分布.
例9 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度.
解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f (x, y)dxdy
D
这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z}
从N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度 。 解: 由卷积公式
(t)
1
t2
e2
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
1
2
x2 (zx)2
e 2 e 2 dx
1
2
z2
e4
(x z )2
e 2 dx
1
z2
e4
2
(x z )2
1
2
1
2(
2 1
)2
e 2 dx
2
1
2
也即
0 x 1 z 1 x z
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
也即
0 x 1 z 1 x z