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概率统计基础知识

i
,离散分布 ,连续分布
Var( x) [ x E ( x)]2 f ( x)dx
a
b
如:
X
P
0
0.95
1
0.05
E ( x) 0.05
Var( x) (0 0.5)2 0.95 (1 0.5)2 0.05 0.25
均值、方差的性质
(1)E(aX b) aE( X ) b (2)Var(aX b) a 2Var( X ) (3)E( X1 X 2 ) E( X1 ) E( X 2 ) (4)Var( X1 X 2 ) Var( X1 ) Var( X 2 )
x ~ N (, ) n
2
第三节 统计基础知识
1 2 3 4
总体与样本 直方图
统计量
抽样分布
1.总体与样本
总体与个体
总体:研究对象的全体; 个体:构成总体的每个单位;
例如 某饮料生产企业用自动罐装机罐装饮料,每罐标准含量为 500ml,为保证产品的稳定性,需要每隔一定时间检查每罐饮料的
含量情况。
1 , 当x [a, b]时; f ( x) b a 其他情况, 0, 则称随机变量 X 服从均匀分布,记为:X ~ U (a, b)
2 a b ( b a ) 其均值、方差分别为: E ( X ) , Var( X ) 2 12
均匀分布密度函数曲线
指数分布
概率的统计定义
如果进行N次重复试验,事件A发生的次数为n,我们将频率n /N 看作是事件A的概率。 【如】: 1.刮发票的中奖密封时,大多得到“谢谢”。如果你刮了150张 发票,只有3张中奖,你会认为,你的中奖概率大约是3/150=0.02 ;
3.概率的性质及其运算法则
性质
0 P( A) 1 ;
第一章 概率统计基础知识
北京理工大学珠海学院 吴浩然
第一章 概率统计基础知识
1 2 3 4 5 概率基础知识 随机变量及其分布 统计基础知识 参数估计 假设检验
第一节 概率基础知识
1
事件与概率
2
概率的古典定义与统计定义
3
概率的性质及其运算法则
1.事件与概率
确定性现象 在一定条件下必然会发生的现象。 【如】:水100ºC沸腾。 随机现象 在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象。 【如】:
(1)掷一枚硬币,出现正面或反面?
(2)一批产品中,不合格品的数量; (3)机械加工中出现的误差;
样本空间 随机现象一切可能结果(样本点)构成的全体,称为样本空 间 。 【如】: (1)掷一枚硬币。
={ 正面,反面 };
(2)一批产品中,不合格品的数量。
={ 0,1,2,3, … };
随机事件 随机现象的某些样本点构成的集合,称为事件,用大写英文字 母A、B、„、表示。表示。 【如】: (1)掷一颗骰子,出现奇数点。
E( x) xi pi
i
,离散分布 ,连续分布
E ( x) xf ( x)dx
a
b
如:
X
P
0
0.95
1
0.05
E ( x) xi pi 0 0.95 1 0.05 0.05
i
方差
方差用来表示分布的离散程度,用Var ( x)表示。其中
Var( x) [ xi E ( x)]2 pi
如果随机变量 X 的密度函数为:
f ( x) exp(x),
则称随机变量 X 服从指数分布,记为: X ~ E ( )
其均值、方差分别为:
E( X )
1

, Var ( X )
1
2
(0,0) 指数分布的密度函数曲线
中心极限定理
不论总体服从何种分布,只要样本容量足够大,样 本均值 x 的分布都大致服从正态分布:
(1)标准差不变,不同的均值,正态分布曲线的形状相同,位 置不同;均值不变,不同的标准差,正态分布曲线的位置相同,形 状不同; (2) X ~ N ( , 2 ) X ~ N (0,1) (3) (u) P(U u)
其它连续分布
均匀分布
如果随机变量 X 的密度函数为:
泊松分布
如果随机变量 X 取 x的概率为: x
P( X x) x! e , x 0,1,2,...
则称随机变量 X 服从泊松分布,记为:X ~ P( )
其均值、方差分别为: E ( X ) 、 Var( X ) 应用 1.在一定时间内,操作系统发生的故障数;
2.概率的古典定义与统计定义
概率的古典定义
利用等可能事件, P(A)=k / n,其中k 为事件A的样本点数目,
n为 的样本点数目。
【如】: 1.如果一个骰子是公平的 ,那么掷一次骰子会以等可能(概率 1/6,6种可能之一)得到1至6点的中的每一个点。 2.抛一个公平的硬币,则以等可能(概率1/2)出现正面或反面。
总体:某一批饮料; 个体:该批中每一罐饮料;
样本
从总体中抽取部分个体所组成的集合。 如: 某饮料生产企业用自动罐装机罐装橙汁饮料,每罐标准含量为 500ml,为保证产品的稳定性,需要每隔一定时间检查每罐饮料的 含量情况。现抽得10罐,测得其含量为(单位:ml) 495, 510, 498, 503, 492, 502, 505, 512, 497, 506。 样本: 10罐饮料的含量。
X
P
0
0.95
1
0.05
连续型随机变量的分布
定义
随机变量 X 如果能够在一区间内取任何值,则该变量称为在此 区间内是连续的,其分布称为连续型概率分布,用密度函数 f ( x) 表示。
逐渐增加矩形条数目的直方图和一个形状类似的密度曲线。
3.随机变量分布的均值、方差
均值
均值用来表示分布的中心位置,用 E ( x) 表示。其中
直方图:1.用于表示连续性变量的频数(频率)分布; 2.横轴表示分组,纵轴表示频数或频率。
户 数 比 重 (%)
25 20 15 10 5
结论:收入较少的家庭 占据多数,而收入较高 的家庭则占少数。

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 →
2.直方图
频数(频率)表
2007年某地区农村居民家庭纯收入数据 按纯收入分组(元) 500以下 500~1000 1000~1500 1500~2000 2000~2500 2500~3000 3000~3500 3500~4000 4000~4500 4500~5000 5000以上 户数比重(%) 2.28 12.45 20.35 19.52 14.93 10.35 6.56 4.13 2.68 1.81 4.94
P( A) 1 P( A) ;
A B P( A) P( B) ; A B P( B A) P( B) P( A) ;
P( A B) P( A) P( B) P( A B) ;
条件概率及概率的乘法法则
条件概率
在事件B已发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件A在给 定B下的条件概率,记作P(A|B)。 其中:P(A|B)=
P( A B) P( B)
例如 掷一颗骰子,事件A表示点数为3,事件B表示点数为6,则 P(A|B)表示第一次骰子的点数为6,第二次点数为3的概率。
独立性和独立事件的概率
定义
如果事件A和事件B有如下关系:
P( A B) P( A) P( B)
则称事件A和事件B相互独立。 例如 如果你有一个固定电话和一个手机,假定固定电话出毛病的概 率为0.01,而手机出问题的概率为0.05,那么,两个电话同时出毛
2. 一平方米玻璃上气泡的个数;
常见的连续分布
正态分布
如果随机变量 X 的密度函数为:
f ( x) (x )2 exp( ), 2 2 2 1
则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution),记为:
X ~ N ( , 2 )
正态分布的曲线及性质
正态分布曲线
离散型随机变量的分布
定义
如果随机变量X只取有限个或可列个可能值,而且以确定的概 率取这些不同的值,则称X为离散型随机变量。 一般列成概率分布表: X P 性质 1. 2. x1 p1 x2 p2
„ „
xk

pk

pi 0
p
k 1
n
k
例如
一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随 机变量描述废品出现的情况。 解: 用X =1表示产品为废品, X =0表示产品为合格品。 则:
描述样本集中位置的统计量
(1)样本均值: 设样本数据为:x1 ,x2 ,… ,xn ,样本均值的计算公式为:
x x xn x 1 2 n
x
i 1
n
i
n
(2)中位数:样本数据排序后,处于中间位置上的值,用Me表 示;
(3)众数:样本数据中出现次数最多的值,用Mod表示;
描述样本分散程度的统计量
病的概率是多少呢?
第二节 随机变量及其分布1 2 3 4随机变量 Nhomakorabea机变量的分布
随机变量分布的均值、方差
常用分布及中心极限定理
1.随机变量
随机变量
表示随机现象各种结果的变量,一般大写英文字母X、Y、Z表 示。
例如 抛一枚硬币, X表示正面出现的次数,它是随机变量,可取0或 1两个值。
2.随机变量的分布
A ={ 1,3,5 };
事件之间的关系及运算
事件的包含
若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记 作 A B 。用图形表示为:
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