Pk
(t)

(n
n! k)!
nk i0
k Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：
k Pi

k
P 1 i 1
k 1Pi
例如： 0 Pi Pi
1Pi 0 Pi1 0 Pi Pi1 Pi
2 Pi 1Pi1 1Pi Pi2 2Pi1 Pi
Pn1

P2 n2
选择 和 的值 ，可以利用该式确定曲线段 Q (t)的特征多边形顶点 Q2，而顶点Q0 、Q1已被 G1连续条件所确
定。要达到Q2连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。
如果从上式的两边都减去Pn，则等式右边可以表示为(Pn-Pn-1)和(Pn-1-Pn-2) 的线性组合：
k(t) P' (t) 3
可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
k (0)

n 1 n
(P1

P0 ) (P2 P1 P0 3

P1 )
k (1)

n 1 n
(Pn1

Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn1)
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
•
恰好是二项式[t+(1-t)]n的展开式。：其中，当i=0，t=0时，ti=1，i！=1，即00=1,0！=1
Pi代表空间的很多点，t在0到1之间，把t代入进去可以算出一个数，即平面或空间一个点。 随着t值的变化，点也在发生变化。当t从0到1时，就可以得到空间的一个图形，这个图形就是Bezier曲线。
Q2

Pn

2

2

n
1
(
Pn

Pn 1 )

2 (Pn1

Pn2 )
这表明Pn-2、Pn-1 、Pn=Q0、Q1和Q2五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致， 我们还可以断定：Pn-2和Q2位于直线Pn-1Q1的同一侧。
谢谢大家
（2）对称性
由控制顶点 Pi* Pni , (i 0,1,..., n),
构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
n
n
n
n
C * (t) Pi*Bi,n (t) Pni Bi,n (t) Pni Bni,n (1 t) Pi Bi,n (1 t),
a) 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=P0；当t=1时，P(1)=Pn。 由此可见，Bezier曲线的起点，终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。
b) 切矢量
因 为 ，
n1
P' (t) n Pi[Bi1,n1(t) Bi,n1(t)]
别由前、后n个控制点定义的两条 (n-1 )次Bezi er 曲线 Pn-10与Pn-11的线性组合：
P0n (1 t)P0n1 tP1n1
t [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi k

(1

t
)
Pi Pik 1

tPik11
k 0 k 1,2,...,n, i 0,1,...,n k
i0
i0
i0
i0
t [0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
(3) 凸包性
n
由于 Bi,n (t) 1 且 i0
这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次
是 Bi,n (tt) [0,1]。在几何图形上，意味着 Bezier 曲线P(t)在中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在 Pi
i0
当t=0时，P’(0)=n(P1-P0)，
当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，
这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。
c) 二阶导矢
n2
P'' (t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
心应手。 • Bezier曲线广泛地应用于很多图像软件，例如Flash，PhotoShop等等。
2.Bezier曲线的定义
• 针对Bezier曲线，给定空间n+1个的位置矢量Pi（i=0,1,...,n)，则Bezier曲线段的参数方程表示如下：
• 其中Pi（xi,y,zi）,i=0,1,..,n是控制多边形的n+1个顶点，即构成该曲线的特征多边形；Bi，n(t)是Bernstein 基函数，有如下形式：
运用该算法具体获得某一点： 以二次Bezier曲线为例（该曲线有三个控制点），求曲线上t=1/3的点。
p1
p11 p20
p
p0
2
P0P01 P1P11 1/ 3 P0P1 P1P2 P01P02 1/ 3 P01P11
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)， 即有：
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。
(5) 递推性 即n次Bernstein基函数可由两个n-1次的Bernstein基函数线性组合而成。因为：
(6) 导函数 (7) 最大值 (8) 积分
(9) 升阶公式
(1

t
)
Bi,n
(t
)

(1

n
i
) 1
Bi
,n1
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代
入第三式得： P02 (1 t)2 P0 2t(1 t)P1 t 2P2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier
• 该方法的大体思路是：在进行汽车外形设计时，先用折线勾画出汽车外形的大致轮廓，然后用 光滑的曲线去逼近这个折线多边形。
光滑的曲线逼近这个折线多边形
• 这个折线多边形被称作特征多边形。逼近该特征多边形的曲线成为Bezier曲线。 • Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得
Bezier曲线介绍
杨仁杰 2019.10.16
1.Bezier曲线背景
• 因为几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。
• 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方 法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入 了应用。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)和Qj(j=0,1,..., m)，
Pn-2
Pn-1
an
Pn
an-1
Q0
如左图，要使P(t)பைடு நூலகம்Q(t)拼接需要满足什么
b1
Q1
条件：
Pn-2 b2
Q2
P(t)
Q(t)
（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0； （2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q0，Q1三点共线
根据Bezier曲线的定义确定参数方程绘制Bezier曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。然而，使 用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。 看一下该算法的演示过程：
Bezier曲线上任意一点P(t)，都是其他相邻线段的同等比例(t)处的连线，再取同等比例(t)处的点在连线，一 直取到那条线段的同等比例(t)处，该点就是Bezier曲线上的点P(t)。
当t=0时, P" (0) n(n 1)( P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)( Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
将上面三个式子代入曲率公式，
P' (t) P"(t)
曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组 合。
依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的
二条二次Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)

(1
n
i
) 1
Bi
,n1
(t
)

i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
4.Bezier曲线性质
(1) 端点性质
共同规律是都只经过了p0 ，pn 所以p0、pn分别位于实际曲线段的起点和终点，其它点就不在Bezier曲线上，只是逼近而已。
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分便捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算 法。
6.Bezier曲线的拼接