三角函数的诱导公式（一）[学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点一诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.(3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.思考1任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系思考2设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标．知识点二诱导公式的记忆2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗题型一 给角求值例1 求下列各三角函数值．(1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]．解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π)＝－sin 23π＝－sin(π－π3)＝－sin π3＝－32. (2)cos 196π＝cos(2π＋76π)＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.(3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)]＝sin π3＝32.跟踪训练1 求下列三角函数值．（1）sin ⎝⎛⎭⎫－436π； (2)cos 296π； (3)tan(－855°)． 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32；(3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.题型二 给值求值问题例2 已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．解 ∵cos(α－75°)＝－13<0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos 2α－75°＝－1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223. ∴sin(105°＋α)＝sin []180°＋α－75°＝－sin(α－75°)＝223. 跟踪训练2 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值．解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.题型三 三角函数式的化简例3 化简下列各式．（1）tan 2π－αsin －2π－αcos 6π－αcos α－πsin 5π－α；（2）1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 (1)原式＝sin 2π－αcos 2π－α·sin －αcos －αcos π－αsin π－α＝－sin α－sin αcos αcos α－cos αsin α＝－sin αcos α＝－tan α. (2)原式＝1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70°sin 180°＋70°＋cos 720°＋70° ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.跟踪训练3 化简：(1)sin 540°＋α·cos －αtan α－180°； （2）cos θ＋4π·cos 2θ＋π·sin 2θ＋3πsin θ－4πsin 5π＋θcos 2－π＋θ. 解 (1)原式＝sin[360°＋180°＋α]·cos α－tan 180°－αtan α＝－sin αcos αsin αcos α＝－cos 2α. (2)原式＝cos θ·cos 2θ·sin 2θsin θ·－sin θ·cos 2θ＝－cos θ.分类讨论思想在三角函数中的应用例4 证明：2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin α＋2k πcos α－2k πsin α＋2k π＋sin α－2k π＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin α＋2k π－πcos α－2k π＋πsin α＋2k π－π＋sin α－2k π＋π＝2sin α－πcos α＋πsin α－π＋sin α＋π＝2－sin α－cos α－sin α＋－sin α－2sin α右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin α＋n πcos α－n πsin α＋n π＋sin α－n π＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立．1．sin 585°的值为( )A ．－22 C ．－322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A ．－1＋323．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )B ．－1－k 2kD ．－k 1－k 24．化简：cos 180°＋αsin α＋360°sin －α－180°cos －180°－α.一、选择题1．cos 600°的值为( )C ．－32D ．－12 2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．23．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α等于( )A ．－1213 D ．±12134．若sin(－110°)＝a ，则tan 70°等于( )5．tan(5π＋α)＝m ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( ) C ．－1 D ．16．若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( ) B ．－53 C ．±53 D ．以上都不对二、填空题7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ . 8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)＝ .585°＋sin －570°)的值等于 ．10．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 ．三、解答题11．化简下列各式．(1)sin(－193π)cos 76π； （2）sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．12．若cos(α－π)＝－23，求sin α－2π＋sin －α－3πcos α－3πcos π－α－cos －π－αcos α－4π的值．当堂检测答案：解析sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－2 2.2．答案C解析原式＝cos 16π3－sin16π3＝cos4π3－sin4π3＝－cos π3＋sinπ3＝3－12.3．答案B解析∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝1－k2.∴tan 80°＝1－k2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.4．化简：cos180°＋αsinα＋360°sin－α－180°cos－180°－α.解原式＝－cos α·sin α[－sinα＋180°]·cos180°＋α＝sin αcosαsinα＋180°cos180°＋α＝sin αcos α－sin α－cos α＝1.课时精炼答案1．答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 2．答案 D解析 原式＝(－sin α)2＋cos αcos(－α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．答案 A解析 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α<0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213. 4．答案 B解析 ∵sin(－110°)＝－sin 110°＝－sin(180°－70°) ＝－sin 70°＝a ，∴sin 70°＝－a ，∴cos 70°＝1－－a 2＝1－a 2，∴tan 70°＝sin 70°cos 70°＝－a 1－a 2. 5．答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 6．答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 232－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α ＝－1－49＝－53. 二、填空题7．答案 －33 解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33. 8．答案 －32解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1－122＝－32(α为第四象限角)．9.答案 2＋2 解析 原式＝cos 360°＋225°sin 360°＋225°－sin 360°＋210°＝cos 225°sin 225°－sin 210°＝－cos 45°sin 180°＋45°－sin 180°＋30°＝－22－22＋12＝2＋2. 10．答案 －3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.三、解答题11．解 (1)sin(－193π)cos 76π＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34.(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°)＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.12．解 原式＝－sin 2π－α－sin 3π＋αcos 3π－α－cos α－－cos αcos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α1－cos α－cos α1－cos α＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53，∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.。