3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例●三维目标1．知识与技能(1)能利用给定函数模型解决实际问题；(2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合；(3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力．2．过程与方法(1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型；(2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务．●重点难点重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法：(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；(2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决.课前自主导学二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n知识2应用函数模型解决问题的基本过程课堂互动探究类型1 一次(二次)函数建模问题某校高一(2)班共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用8元，其中，纯净水的销售价x (元/桶)与年购买总量y (桶)之间满足如图3－2－7所示关系．图3－2－7(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当a ＝120时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由；(3)当a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？思路探究 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函数模型→利用函数最值求解．自主解答 (1)设y ＝kx ＋b (k ≠0)，∵x ＝8时，y ＝400；x ＝10时，y ＝320.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 400＝8k ＋b ，320＝10k ＋b ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－40，b ＝720，∴y 关于x 的函数关系式为y ＝－40x ＋720(x >0)．(2)该班学生买饮料每年总费用为51×120＝6 120(元)．当y ＝380时，380＝－40x ＋720，得x ＝8.5，该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×8.5＋8＝3 458(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．(3)设该班每年购买纯净水的费用为P 元，则P ＝xy ＝x (－40x ＋720)＝－40(x －9)2＋3 240，∴当x ＝9时，P max ＝3 240.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则51a ≥P max ＋8，解得a ≥68，故a 至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少．1．用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点(1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单．(2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．对于一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)，当a >0时为增函数，当a <0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b )或⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0这些特殊点的意义．2．利用二次函数求最值的方法及注意点(1)一般方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意点：利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．据市场分析，烟台某海鲜加工当月产量在10吨至25吨时，月总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低，为17.5万元，构成二次函数对应图象的顶点．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解 (1)y ＝a (x －15)2＋17.5，将x ＝10，y ＝20代入上式，得20＝25a ＋17.5.解得a ＝110.所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)．(2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1.6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝－110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)．因为x ＝23∈[10,25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.类型2 分段函数建模问题某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．思路探究 由收费标准可知，水费与用水量之间存在两种不同对应关系，所以应分类讨论，建立分段函数模型．自主解答 (1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x ≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y ＝(5x ＋3x )×1.80＝14.4x ；同理可得当45<x ≤43时，y ＝20.4x －4.8；当x >43时，y ＝24x －9.6.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43. (2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.40；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.40；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.40，得x ＝1.5. ∴甲用户用水量为5x ＝7.5(吨)，付费y 1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)．乙用户用水量为3x ＝4.5(吨)，付费y 2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分”而导致运算出错．如图3－2－8，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t (t >0)左侧的图形的面积为f (t )，试求函数f (t )的解析式．图3－2－8解 OB 所在的直线方程为y ＝3x .当x ∈(0,1]时，由x ＝t ，求得y＝3t ，所以f (t )＝32t 2；当t ∈(1,2]时，f (t )＝3－32(2－t )2；当t ∈(2，＋∞)时，f (t )＝3，∴f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈(0，1]，3－32(2－t )2，t ∈(1，2]，3，t ∈(2，＋∞).类型3 指数(对数)型函数建模问题大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现v 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，v ＝1.(1)求出v 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量的单位数；(3)一条鲑鱼要想把游速提高1m/s ，其耗氧量的单位数应怎样变化？思路探究 设出v ＝k log 3Q 100→由点(900,1)在曲线上求k →由v ＝1.5，求Q →由v 2－v 1＝1，求Q 2Q 1. 自主解答 (1)设v ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，v ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴v 关于Q 的函数解析式为v ＝12log 3Q 100.(2)令v ＝1.5，则1.5＝12log 3Q 100，∴Q ＝2700，故一条鲑鱼的游速是1.5m/s 时耗氧量为2700个单位．(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1，Q 2时，游速分别为v 1、v 2，由题意：v 2－v 1＝1，即12log 3Q 2100－12log 3Q 1100＝1.∴12log 3Q 2Q 1＝1，∴Q 2Q 1＝9，即Q 2＝9Q 1. 故鲑鱼要想把游速提高1m/s ，其耗氧量单位数应变为原来的9倍．1．指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a ＞0且a ≠1，m ≠0)．2．对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a ＞0且a ≠1)．3．幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0)．如果已知函数模型，可用待定系数法求解相应参数．某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：(1)写出该城市人口数y (万人)与年份x (年)的函数关系．(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)3， ……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x (x ∈N)． (2)10年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．(3)设x 年后人口将达到120万人，即可得到100×(1＋1.2%)x ＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.2＝lg1.2lg1.012≈15.28. 所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.思想方法技巧拟合函数模型的建立与应用(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：x 1 2 3 4 f (x )4.005.587.008.44(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2014年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2014年的年产量为多少？思路点拨 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模规范解答 (1)画出散点图，如图所示.2分 (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.5，b ＝2.5，∴f (x )＝1.5x ＋2.5.4分检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.6分∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化.8分 (3)根据所建的函数模型，预计2014年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2014年的年产量为7万件.12分思维启迪函数拟合与预测的一般步骤是： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．课堂总结1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：(2)解应用题的一般步骤：①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一步是基础；②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；④答：将数学结论还原为实际问题的结论．当堂检测1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图3－2－9所示，那么图象所对应的函数模型是()图3－2－9A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析由图可知s＝kt，故选A.答案 A2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1解析分裂一次后由2个变成2×2＝个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．答案 D3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得，100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.答案 A4．某生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为(20 000＋100x )元，从而f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000， ∴当x ＝300时，f (x )有最大值25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数． f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元.课后知能检测一、选择题1．国内快递1000g 以内的包裹的邮资标准如下表：如果某人在西安要快递800g 的包裹到距西安1 200km 的某地，那么他应付的邮资是( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元解析 由题意可知，当x ＝1 200时，y ＝7.00元． 答案 C2．某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低13，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元解析 12年后的价格为y ＝8 100×⎝⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400(元)．答案 A3．下图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图；那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系，用下列哪个函数模型拟合最好？图3－2－10A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2tC．幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2解析结合图象的变化趋势可以看出，红豆生长时间与枝数的关系大约成指数函数关系，故选A.答案 A4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.答案 D5．某生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30解析 设生产x 吨产品全部卖出所获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000，其中x ∈(0，＋∞)．由题意知当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35－300b ，a ＝40－150b ，解得a ＝45，b ＝－30.答案 A 二、填空题6．(2014·徐州高一检测)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.301 0)．解析 设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg2≈3.3，所以需4次．答案 47．某汽车在同一时间内速度v (km /h)与耗油量Q (L )之间有近似的函数关系：Q ＝0.0025v 2－0.175v ＋4.27，则车速为________km/h 时，汽车的耗油量最少．解析 Q ＝0.0025v 2－0.175v ＋4.27＝0.0025(v 2－70v )＋4.27 ＝0.0025[(v －35)2－352]＋4.27＝0.0025(v －35)2＋1.2075. 故v ＝35km/h 时，耗油量最少． 答案 358．已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．解析 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好． 答案 甲 三、解答题9．渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 应小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值．解 (1)根据题意知，空闲率是m －xm ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm ，0<x <m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋mk4，0<x <m .则当x ＝m 2时，y max ＝mk 4.所以，鱼群年增长量的最大值为mk4. 10．某市一家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：该市煤气收费的方法是：煤气费＝基本费＋超额费＋保险费． 若每月用气量不超过最低额度A (A >4)立方米时，只付基本费3元和每户每月定额保险费C (0<C ≤5)元；若用气量超过A 立方米时，超过部分每立方米付B 元．(1)根据上面的表格求A ，B ，C 的值；(2)记该家庭第四月份用气为x 立方米，求应交的煤气费y 元． 解 (1)1月的用气量没有超过最低额度A ，所以3＋C ＝4⇒C ＝1，2,3月的用气量超过了最低额度A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋(25－A )B ＝14，4＋(35－A )B ＝19，解得B ＝12，A ＝5.(2)当x ≤5时，需付费用为3＋1＝4元．当x >5时，需付费用为4＋(x －5)×12＝12x ＋32元，所以应交的煤气费y ＝⎩⎨⎧ 4， 0<x ≤5，12x ＋32， x >5.11．设在海拔x m 处大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y ＝C e kx ，其中C ，k 是常量．已知某地某日在海平面的大气压强为1.01×105Pa,1 000m 高空的大气压强为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．解 将x ＝0，y ＝1.01×105，x ＝1 000，y ＝0.90×105分别代入y ＝C e kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1.01×105＝C e k ·0，0.90×105＝C e 1 000k ，即⎩⎪⎨⎪⎧C ＝1.01×105，0.90×105＝C e 1 000k . 将C ＝1.01×105代入0.90×105＝C e 1 000k ，得0．90×105＝1.01×105e 1 000k ，即0.9＝1.01e 1 000k .两边取以e 为底的对数(自然对数)，得k＝11 000ln 0.91.01≈－1.15×10－4，所以y＝1.01×105×e－1.15×10－4x将x＝600代入，得y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600≈0.943×105.答：在600m高空的大气压强约为0.943×105Pa.。