1 【解析】 由题意知函数f(x)＝ ，g(x)＝ax2＋bx(a， x b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2， 1 y2)，等价于方程 ＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有两个不同的 x 根x1，x2，即方程ax3＋bx2－1＝0有两个不同非零实根x1， x2， 因而可设ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)， 2 即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋x 1 x－x2x2＋2x1x2x－ 2 x2x1)， ∴b＝a(－2x1－x2)，x2＋2x1x2＝0，－ax2x2＝－1， 1 1 ∴x1＋2x2＝0，ax2>0，
x＋2 (2013· 武汉模拟)设函数f(x)＝log3 －a在区间(1，2) x 内有零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，log32) B．(0，log32) C．(log32，1) D．(1，log34)
【解析】 ∵函数f(x)在区间(1，2)内有零点， x＋2 ∴方程log3 ＝a在区间(1，2)上有解， x x＋2 x＋2 由1＜x＜2，得2＜ ＜3，∴log32＜log3 ＜1， x x 所以log32＜a＜1.
【思路点 拨】
(1)先根据零点存在性定理证明有 零
点，再根据函数的单调性判断零点的个数． (2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．
【尝试解答】
(1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数
f(x)＝2x＋x3－2在(0，1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．
2．“f(a)·f(b)＜0”是“函数y＝f(x)(函数图象连续)在 区间(a，b)内有零点”的什么条件？
【提示】
f(a)·f(b)＜0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有
零点，反之不一定成立，如函数f(x)＝x2－2x＋1在区间(0， 2)内有零点x＝1，但f(0)f(2)＞0，因此，“f(a)·f(b)＜0”是 “函数f(x)(函数图象连续)在区间(a，b)内有零点”的充分不 必要条件．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且有______________，那么 f(a)·f(b)<0
(a，b) 函数y＝f(x)在区间_________内有零点，即存在x0∈(a，b)， f(x0)＝0 使得_____________．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
【答案】
(1)B
(2)(1，2)
1．函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存在性定
理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0Байду номын сангаас 2．求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)＝ 0；从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标．通 过画出函数的图象，观察图象与x轴在给定区间上的交点判
定．
(1)函数f(x)＝ x－cos x在[0，＋∞)内( A．没有零点 C．有且仅有两个零点
在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存 在零点的充分不必要条件．
从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是
高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归 及函数与方程的思想．
思想方法之六
用函数与方程思想解决图象公共点问题
1 (2012· 山东高考)设函数f(x)＝ x ，g(x)＝ax2＋bx(a， b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两 个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的 是( ) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0
1 x－2 (2)设f(x)＝x －( ) ， 2 则x0是函数f(x)的零点． 在同一坐标系下画出函 1 x－2 3 数y＝x 与y＝( ) 的图 2 象，如图所示．
3
1 －1 ∵f(1)＝1－( ) ＝－1＜0， 2 10 f(2)＝8－( ) ＝7＞0 2 ∴f(1)f(2)＜0， ∴x0∈(1，2)．
【答案】
B
4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0，1)上有零点，则
实数a的取值范围是________．
【解析】
函数f(x)＝x2＋x＋a在(0，1)上递增．
由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.
【答案】
(－2，0)
(1)(2012· 天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内 的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 1 x－2 3 (2)(2013· 湛江模拟)设函数y＝x 与y＝( ) 的图象的交 2 点为(x0，y0)，则x0所在的区间(端点值为连续整数的开区间) 是________．
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意
“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆． 2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x) 的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)在第一步 中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．
在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在 已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相 异的实根，即g(x)与f(x)的图象有 两个不同的交点，作出g(x)＝x＋ e2 (x＞0)的大致图象． x
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，
∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1
＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x) 有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值 范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．
【解析】 【答案】
由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C. C
2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝ bx2－ax的零点是( ) 1 A．0，2 B．0， 2 1 1 C．0，－ D．2，－ 2 2
【解析】 由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a. a 1 令g(x)＝bx2－ax＝0得x＝0或x＝ ＝－ . b 2
区间为________．
【解析】 1， 3 27 ∵f( )＝ －4<0，f(2)＝8－4－1>0，f(1)＜0， 2 8 3 ∴f(x)＝0的根在( ，2)内． 2 3 在(1，2)内取中点x0＝ ，令f(x)＝x3－2x－ 2
【答案】
3 ( ，2) 2
(2013· 潮州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x) e2 ＝x＋ (x＞0)． x (1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实 根．
数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 零点 __________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而 得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？
【提示】
不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝
f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
当a>0时，x2>0，∴x1＋x2＝－x2<0，x1<0，∴y1＋y2＝ 1 1 x1＋x2 ＋ ＝ >0. x1 x2 x1x2 当a<0时，x2<0，∴x1＋x2＝－x2>0，x1>0， 1 1 x1＋x2 ∴y1＋y2＝ ＋ ＝ <0. x1 x2 x1x2
【答案】 B
易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程 的根的问题，找不到解决问题的切入点． (2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起 来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数
【思路点拨】 从而数形结合求解． 解答(1)可用基本不等式求出最值或数
形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，
e2 【尝试解答】 (1)∵g(x)＝x＋ ≥2 e2＝2e， x 等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因此，只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．
1．(人教 A 版教材习题改编)用二分法求函数 y＝f(x)在 区间(2，4)上的近似解，验证 f(2)·f(4)＜0，给定精确度 ε 2＋4 ＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ ＝3，计算得 f(2)· 1) f(x 2 ＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( ) A．(2，4) B．(3，4) C．(2，3) D．(2.5，3)
)
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点 2 (2)(2013· 汕头模拟)函数f(x)＝ln(x－2)－ 的零点所在的 x 大致区间是( ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)
【解析】 (1)令f(x)＝ x－cos x＝0，则 x＝cos x，设 函数y＝ x 和y＝cos x，在同一坐标系下作出在[0，＋∞)的 图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个． 函数f(x)＝ x－cos x在[0，＋∞)内有且仅有一个零点． (2)由题意知函数f(x)的定义域为{x|x＞2}． 2 1 ∵f(3)＝－ ＜0，f(4)＝ln 2－ ＞0， 3 2 2 f(5)＝ln 3－ ＞0， 5 ∴f(3)· f(4)＜0，f(4)· f(5)＞0， ∴函数f(x)的零点在(3，4)之间．
第八节
函数与方程
1．函数零点 f(x)＝0 (1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使__________成立 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函 x轴 数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有零点 _______．