全等三角形——截长补短法
一、知识梳理：
截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。

通常来证明几条线段的数量关系。

截长法：
（1）过某一点作长边的垂线
（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法
（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

……
二、典型例题： 例1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
及时练习：
如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ．
例2、已知ABC ∆中，60A ∠
=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
D
O
E
C
B A
M
D
C
B A P
C B
A
及时练习：
如图，已知在ABC 内，0
60BAC ∠=，0
40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，
BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
例3、如图．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．
求证：AE =BC +CE ．
及时练习：
如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ， ∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为 ( ) A . a B . k C .
2
k h
+ D . h
例4、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O
．
求证：OA 平分DOE ∠．
E
D C B
D
C
A
及时练习：
如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
三、课堂练习：
1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC
2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。

3、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0
180=∠+∠C A
C
D B
A
B
A D
B
A 4、如图在△ABC 中，A
B ＞A
C ，∠1＝∠2，P 为A
D 上任意一点，求证;AB -AC ＞PB -PC
四、课后作业：
1. 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
2. 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？
3. 如图．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：AC ＝BC ＋
DC ．
F
E
D
C
B
A
N
C
D
E
B M A
4. 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
5. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE .
6. 若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆ 的
费马点．
如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′．
求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′．
C
E
D
B A
B'
B
A。