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截长补短
截长补短”是几何证明题中十分重要的方法， 通常用来证明几条线段的数量关系， 即若 题目条件或结论中含有 a b c ”的条件，需要添加辅助线时可以考虑
截长补短”的方法。
另外的较短线段。
补短法: ①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等 于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：a b
①延长较短线段中的一条， 使延长后的线段等于较长线段, 一条较短线段。
即延长a ，得到c ,证：b c-a 。
例1.已知：如图，在 △ ABC 中，△仁△Z, △ B=2AC .求证:
1.补短法:
证明：如图，延长 AB 到E ,使BE=BD ，连接DE .
△ △ABD 是 △BDE 的一个外角
△ △ABDME + △BDE
ABE=BD △ △EMBDE
△ △ABD=2 △E
△ △ABD=2 △C
△ △EMC
在 AADE 和 AADC 中
△ △ADE △△ADC (AAS )截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,
再设法证明较长线段的剩余线段等于 然后证明延长出来的部分等于另
AC=AB+BD
.
AD
AD
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证明：如图，在 CD 上截取CF=CB .
△CE 平分△CBD
在△CFE 和 △CBE 中
△AE=AC
△AC=AB + BE=AB + BD
2.截长法:
证明：如图，在 AC 上截取AF=AB ，连接DF .
在△ABD 和△AFD 中
AB AF
AD AD
△ △ABD △△AFD ( SAS )
△ ABMAFD , BD=FD
△ △B=2 △C
△ △AFD =2 △C
△ △AFD 是^DFC 的一个外角
△ △AFD me + 舉DC
△ AFDCmC
ADF=FC
ABD=FC
△AC=AF+FC=AB+BD
例2.如图，在四边形 ABCD 中，△ A=AB=90，点
E 为AB 边上一点，且 DE 平分△ ADC ，
CE 平分△ BCD .求证：CD=AD+BC
.
CF CB
CE CE
△ △CFE △△CBE (SAS)
△ △CFEMB
△ △B=90
△ △CFEMDFE =90
△ △A=90 °
△ △DFE=AA
△DE 平分△ADC
在△DEF和△DEA中
DFE A
DE DE
△ △DEF △△DEA (AAS )
ADF=AD
△CD = DF + CF =AD + BC
例3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD =AB ,
/ B= / D= / BAD =90° E, F 分别为CD , BC 边上的点，且/ EAF=45°,连接EF.
求证：EF=BF+DE .
证明：如图，延长FB到G,使BG=DE，连接AG . △ △D=^ABC=90
△ △ABG = ^D=90
在AABG和AADE中
AB=AD
ABG= D
BG=DE
△ △ABG△△ADE ( SAS)
△AG=AE, △ 1 = △
△ △BAD=90 △EAF =45
△ △ 2+ △ 3=45
△ △ 1 = △+△2
△ △ 1 = △+△2
DB DE
△ △ABD △△AED ( SAS )
△ △B=2 △C
△ △ 1=20
△ △1是AAEC 的一个外角
△AE=CE
△CD=CE+ED=AE+BD=AB+BD
△ △ 1 + △ 3=45
即△GAF =45°
△ △GAFMEAF
在△AGF 和 AAEF 中
AG AE
GAF EAF
AF AF
△ △AGF △△AEF (SAS )
△GF=EF
△GF=BF+BG
AEF=BF+DE
例4.在△ABC 中，AD △BC 于 D , △B=2AC .求证：CD=AB+BD
.
证明：如图，在线段 DC 上截取DE=BD ，连接AE .
△AD △BC
△ △ADB = AADE=90
在 AABD 和 AAED 中 AD AD
ADB ADE
例5.如图，在△ABC 中，AB>AC , △ 1=A2, P 为AD 上任意一点，连接 BP , CP .
求证：AB-AC > PB-PC .
1.截长法：
证明：如图，在 CF 上截取CM=BA ，连接DM .
证明：如图，在线段 AB 上截取AE=AC ，连接PE .
贝U AB-AC=AB-AE=EB
在MEP 和MCP 中
AE AC
AP AP
△ △\EP^mCP (SAS)
APE=PC
在APEB 中, PB PE<EB
APB-P C<EB
△
AB-AC > PB-PC
例6.如图，在梯形ABCD 中，ADABC , CEAAB 于E , ABDC 为等腰直角三角形, ABDC=90° BD=CD ，CE 与 BD 交于 F ，连接 AF .求证：CF=AB+AF
.
△ △BDC 为等腰直角三角形，BD=CD
△ △仁△CB=45°
△CEAAB, ABDC=90°
△ △CEB=^BDC=90°
△ △ 2=A3
△ △ 4=^5
在△ABD 和△MCD 中
△ △ABD ^^MCD (SAS )
ADA=DM ，△ 6=^7 △AD^BC
△ △ ?=△ 1=45°
△ △ 6=45°
△ △ 8=45°
△ △ 7=^8
在△ADF 和△MDF 中
△ △ADF △△MDF ( SAS )
△AF=MF
△CF=CM+MF =AB+AF
补短法：
证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G . △ △BDC 为等腰直角三角形
△ △GDBMBDCrgO 。
,
△CE ^AB
△ △CEBmBDCrgO 。
△ △ 1=^2
△ △ 3=8
在△GBD 和^FCD 中
GDB FDC
DB DC
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AB MC
BD CD
DA DM
DF DF
△ 5=45° G
△ △GBD^^FCD (ASA)
△BG=CF，DG=DF
△AD ABC
△△ 6=A 5=45°
△△ 7=45°
△△ 6=^7
在△GDA和△FDA中
DG DF
DA DA
△ △GDA^^^DA (SAS)
△AG=AF
△BG=AB+AG
△CF=AB+AF。