复习题（一）一、定义域（1）函数的定义域()2lg 31−+−=x xy （2）函数的定义域1412++−=x x y （3）函数的定义域为[0，1]，则定义域为()x f ()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=4141x f x f x g 二、求极限（1）⎟⎠⎞⎜⎝⎛+→x x x x x 1sin 2sin 3lim 00312lim sin sin 22x x x x x →⎛⎞⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠00312lim lim sin sin 22x x x x xx →→=+003lim2sin 2lim 2x x x x →→=32=()lim 0m m n n x a x a a x a →−≠−11lim m n x a mx nx −−→=lim m n x a m x n −→=m nm a n−=xx x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→21lim 222lim 1xx x →∞⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦222lim 1xx x →∞⎡⎤⎛⎞⎢⎥=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦2e =x x x ln lim ∞→1lim 0x x→∞==4586lim 224+−+−→x x x x x 42lim 1x x x →−=−23=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→x x x x x tan 2sin lim 000sin 2n 1lim 2lim 2cos x x x si x x x x →→=⋅−⋅000sin 2n 12lim lim lim2cos x x x x si x x x x→→→=⋅−⋅1==211lim 2−++→x xx )0lim 1x +→=+1sin lim0−→x x e x 0s lim 1xx co xe →==；e x x e x −−→1ln lim11lim x e x e→==；()11lim 22−−+∞→x xx 0x ==；x x x 1sinlim ∞→1sinlim 11x x x→∞==xx x 211lim ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→221lim 1x x e x −−−→∞⎡⎤⎛⎞=−=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦x x x 3cos 5cos lim 2π→25sin 5lim 3sin 3x x x π→=53=−022sin lim ln0sin lim x x xx xx x e x +→+→⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20cos sin lim 2sin x x x x x x x e +→−⋅=0sin 2lim21x x x xe+→−==()11111ln lim lim ln 1ln 1x x x x x x x x →→−−⎛⎞−=⎜⎟−⋅−⎝⎠111lim1ln x xx x x→−=−+11lim1ln x x x x x→−=−+11lim2ln x x →=+12=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→111lim 0x x e x ()01lim 1x x x e x x e →−−=−01lim 1x xx x e e xe →−=−+0lim 2xxxx e e xe →=+01lim2x x →=+12=1131232lim lim 12112x x x x x x x x ++→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+⎛⎞=⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎜⎟+⎝⎠11312lim 112x x x x x ++→∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠2323122331122lim111122xx xx x x x →∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎛⎞⎛⎞++⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦e=解法2：原式12lim 121x x x +→∞⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠211222lim 121x x x ++→∞⎛⎞=+⎜⎟+⎝⎠2112222lim 112121x x x x +→∞⎛⎞⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠e=解法1：x xx x 30sin 1sin 1lim−−−→0x →=301sin lim2sin x x x x →−=2011cos lim23sin cos x x x x→−=220112lim 23x xx →=112=解法2：x x x x 30sin 1sin 1lim −−−→3011sin 22lim x x xx→−+=301sin lim 2x x x x →−+=201cos 1lim23x x x →−+=220112lim 23x xx →=112=()221arctan 12lim lim111sin cos x x xx x x xπ→+∞→+∞−−+=−洛比达法则22lim1x x x →+∞=+1=不存在xxx 1sin arctan 2lim −∞→π()xx x tan 2sin lim π→，tan sin x y x =解：令tan ln sin y x x=⋅则ln 22lim lim tan lnsin x x y x x ππ→→=⋅ln 2ln sin lim 1tan x xx π→=222cos sin lim sec tan x x xx x π→=−22cos lim sin sin x xx xπ→=−⋅21lim sin 22x x π→==,02lim ln x y e π→=ln 2lim 1x y π→=解：sin sin ln 00lim lim xx xx x xe++→→=0lim sin ln x x xe+→=00ln lim sin ln lim 1sin x x x x x x ++→→=021lim cos sin x xx x+→=−⋅20sin lim cos x xx x+→=−⋅0lim sin x x+→=−0=sin 0lim 1xx x +→∴=x x x 3tan 6sin lim 6⎟⎠⎞⎜⎝⎛−→ππ，6t x π=−解：令06lim sin tan 3lim sin cot 36t x x x t t ππ→→⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠则0cos 3lim sin sin 3t tt t→=⋅sin limsin 3t t t→=13=xx x x 5sin sin 3sin lim0−→00sin 3sin 2sin 2cos lim limsin 5sin 5x x x x x x x x→→−=解：02sin 2limsin 5x x x →=45=；⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+→2sin 12cos lim 220x x x x 2222200212lim cos lim cos sin sin 22x x x x x x x x x →→⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠解：222002lim cos lim sin2x x x x x x →→=+2220022lim cos lim 2sin2x x x x x x →→=+⋅0=3sin 1tan 1limx xx x +−+→30011tan sin 22lim lim x x x xx→→−=解：301tan sin lim 2x x x x →−=()30sin 1cos 1lim 2cos x x x x x→−=2011cos lim2x x x →−=01sin lim 22x x x →=14=；()x x xx 2cos cos 11lim20−→(21lim1cos x x →−解：；()1ln 1lim −→+x e x x ()()1ln ln 1ln 100lim lim xx xe e x x xe ++−−→→=解：()0ln limln1x x xe e +→−=01limx xx e xe e +→−=0lim x x xx e e xe e +→+=01lim1x xe+→+=e=（2），则（）32lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→xx k x k x =k （a ）（b ）（c ）（d ）2e 21e 23ln 31221lim 321kxk k x x k k x k x −→∞−⎡⎤⎛⎞⎢⎥+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦=⎡⎤⎛⎞⎢⎥−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦分析：32133ln 33k k ke e k e −⇒=⇒=⇒=（12）数列的极限是（）nnn x n cos +=（a ）1（b ）-1（c ）0（d ）不存在cos 1lim limlim 1cos 1n n n n n n x n n n →∞→∞→∞+⎛⎞==+=⎜⎟⎝⎠分析：（16）（）()()()=+++∞→3321lim nn n n n （a ）0（b ）1（c ）3（d ）6()()()3123123limlim 1111n n n n n n n n n →∞→∞+++⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠分析：（18）（）=→xxx 3sin 5sin limπ（a ）（b ）-1（c ）1（d ）34−35sin 55cos55lim lim sin 33cos33x x x x x x ππ→→==分析：（22）（）=+−++∞→xx xx x sin 31lim 2（a ）-1（b ）-2（c ）1（d ）2limlim 21x x x→+∞→+∞==−+分析：（23）若，则（）()51sin lim 21=−++→x bax x x （a ）（b ）3,5==b a 6,7=−=b a （c ）（d ）4,3−==b a 1,0−==b a ()()2211lim 5lim 01sin 1x x x ax b x ax b b a x →→++=++==−−−分析：由，可知，即()()()1111lim5sin 1x x x a b a x →−++=−−=−将代入()1lim 153x x a a →++==得，即（26）（）=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++∞→112cos 1lim 22x x x x x x （a ）0（b ）1（c ）2（d ）32222121121lim cos lim cos lim 11x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞⎛⎞+++++=+⎜⎟−−⎝⎠分析：221121lim cos lim 11x x x x x x x→∞→∞++=+−2=（28）如果，则（）322sin 3lim 0=→x mx x =m （a ）1（b ）2（c ）4/9（d ）9/4003sin 23sin 2324limlim 2323239x x m mx m mx m m mx mx →→=⇒=⇒=⇒=分析：（29）（）=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++∞→22221lim n n nnn ⋯（a ）0（b ）（c ）1/2（d ）1∞()2222111212lim lim 2n n n n n n n n n →∞→∞+⎛⎞+++==⎜⎟⎝⎠⋯分析：（30）若，则（）2134lim 2=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−+∞→b ax x x x （a ）（b ）6,2==b a 2,4−=−=b a （c ）（d ）1,3==b a 2,0−==b a 243lim 24041x x ax b a a x →∞⎛⎞+++=+=⇒=−⎜⎟−⎝⎠分析：由，可知()43lim24221x b x b b b x →∞+−+=⇒+=⇒=−−（31）的值为（）xx x x sin 1sinlim20→（a ）1（b ）（c ）不存在（d ）0∞20011sinsin0limlim 0sin sin 1x x x x x x x x x→→===分析：（32）（）=∞→222sin lim x mxx （a ）0（b ）（c ）（d ）∞2m22m 2222sin 1lim lim sin 022x x mx mx xx →∞→∞==分析：三、函数连续（5）已知函数在连续，则（）()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠−=0,0,211x b x x x f x 0=x =b ()()lim 0x f x f →=分析：函数在一点连续的充分必要条件是而()()1200lim lim 12xx x f x x e −→→=−=()0f b=2b e −∴=（6）已知函数在连续，则（）()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,21ln x b x x x x g 0=x =b 解：()()()()11ln 12lim limlim ln 12ln lim 122xxx x x x x f x x x x→→→→+==+=+=()0f b=2b ∴=（11）已知函数在内连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00,2sin x a x xxx f ()+∞∞−,=a解：，()()sin 2,00x x f x x a x ⎧≠⎪=−∞+∞⎨⎪=⎩要使在，内连续sin 2x x x ≠∵当0时,是连续函数()sin 2,00xx f x x x a x ⎧≠⎪∴=⎨⎪=⎩只要使在=0处连续()()lim 0x f x f →=即只要使0sin 2lim 222x xa a x→=⇒=（20）已知函数在连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠−−=11,113x a x x x x x f 1=x =a （a ）2（b ）-2（c ）1（d ）-1()31,111x x f x x x a x ⎧−≠⎪=−⎨⎪+=⎩分析：要使有意义()()1lim 1x f x f →=须使311lim 13121x x a a a x →−=+⇒=+⇒=−即（34）若在连续，则（）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=01sin 00sin 1x b x x x a x x x x f 0=x （a ）（b ）1,1−==b a 1,1==b a （c ）（d ）1,1=−=b a 1,1−=−=b a()1sin 0001sin 0x x x f x a x x x b x x ⎧<⎪⎪===⎨⎪⎪+>⎩分析：要使在处连续()()()0lim lim 0x x f x f x f −+→→==只要使0011lim sin lim sin x x x x b a x x −+→→⎛⎞=+=⎜⎟⎝⎠只要使即a=1,b=1（36）已知在连续，则（）()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=02sin 02x xbxx bx a x f 0=x （a ）（b ）1,0==b a 0,1==b a （c ）（d ）ba 2=ab 2=()20sin lim lim 2x x bxa bx a x−+→→+==由题意，只要使()2lim sin lim 22x x a bx a b bx ba a bx −+→→+==⇒=四、无穷小（1）函数在哪个变化过程中是无穷小量（）11−=xe y （a ）（b ）（c ）（d ）0+→x 0−→x ∞→x 1+→x （2）当时，是的（）0→x 1−x e x （a ）高阶（b ）低阶无穷小（c ）同阶无穷小（d ）等价无穷小001lim lim 11x xx x e e x→→−==分析：（3）当时，是的（）0→x x x sin 2−x （a ）高阶无穷小（b ）低阶（c ）同阶无穷小（d ）等价无穷小（4）已知当时，为无穷大量，则当时，下列变量必为无穷0→x ()x f 0→x 小量是（）（a ）（b ）（c ）（d ）()x xf ()x f x()xx f 11+()xx f 1−（6）时的无穷小量（）0→x （a ）（b ）（c ）（d ）xx 1sin2xx 1sin1xx sin xx 2arcsin （7）曲线的垂直渐进线是（）3242−−=x x y （a ）仅有一条（b ）仅有一条3=x 1−=x （c ）有两条，（d ）不存在3=x 1−=x （19）当时，与是等价无穷小，则（）0→x ()11−+kx x 2sin =k （a ）1（b ）2（c ）3（d ）4)00112limlimsin 24sin 24x x k x kxx →→−==分析：（21）当时，为（）0→x xy 1sin =（a ）有界变量（b ）无穷大量（c ）无穷小量（d ）无界变量（25）函数是（）()()1ln 2++=x x x f （a ）奇函数（b ）偶函数（c ）非奇非偶（d ）有界函数（33）当时与等价的无穷小量是（）1→x ()1sin 2−x （a ）（b ）（c ）（d ）2x 12−x 1−x x（35）当时，与比较是（）1→x ()1sin 2−x 1−x （a ）较高阶的无穷小（b ）较低阶的无穷小（c ）同阶无穷小（d ）等价无穷小五、渐近线（5）曲线的垂直渐进线是（）9862−+=x x y （a ）仅有一条（b ）仅有一条9−=x 1=x （c ）有两条（d ）不存在9−=x 1=x （27）曲线的水平渐进线是（）xe y x−=−33（a ）（b ）（c ）（d ）不存在0=y 1=y 3=y 六、间段点：（37）.111的间断点，并判断类型指出xx ey −−=（24）函数，是函数的（）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0arctan 0001x x x x e x f x 0=x （a ）连续点（b ）第一类可去间断点（c ）第二类无穷间断点（d ）第一类跳跃间断点。