又limp(x)1, x x0
p ( x ) x 3 2 x 2 a b x ~ x ( x 0 )
从而 b0 得 ,a1. 故 p (x ) x 3 2 x 2 x
x1, x1
例6
讨论 f(x)cos2x,
的连续 . 性 x1
解 将f(x)改写成
1 x, x 1 f (x) cos2x, 1 x 1
lifm (x )s2 ix n 0 x 0
从而由等价无穷小的代换性质得
2lx i0m 1fe (3 xx) s1i2n x1
1 f (x)sin2x
lim2
x0
3x
1limf(x)sin 2x
3x0
2x
由limsin2x1 x0 2x
lif m (x )存在 lif m ( ， x )6且
得cln2
解二
lim x
x x
c c
x
1 lim x 1
c x x
c x
x
ec e c
e2c
例 证明 limn n1 n
证 首先 nn1 记 nn1hn
n ( 1 h n 2 )n 1 n n h n (n 2 !1 )h n 2 1n(n2! 1)hn2
0hn2
2 n
x
limf(x)limcos 0.
x1
x1
2
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)lim (x1)0. 故 f(x)在 x1连.续
x1
x1
f(x )在 (, 1 ) ( 1 ,)连 . 续
例 设 f(x)在闭 [0,1区 ]上间 连 ,且 f(0 续 )f(1),
解 由 lx i0m 1fe (3 x x ) s1 i2n x12 而 lim (e3x1)0
x 0
li(m 1 f(x )s2 ix n 1 ) x 0
lx i0m 1 fe (3 x x ) s1 i2 x n 1 (e 3 x 1 )
20 0
lim 1 f(x )s2 ix n 1 x 0
证明必 [0 有 ,1]使 一 f(得 点 1)f().
2
证明 令 F (x)f(x1)f(x),
2
则F(x)在[0,1]上连. 续 2
F(0)f(1)f(0), 2
F(1)f(1)f(1),
2
2
讨论: 若 F(0)0, 则0, f(01)f(0);
2
若F(1) 0, 则 1 , f(11)f(1);
x 1, x 1
显 f(x ) 然 在 (, 1 )( ,1 ,1 )(1 ,,) 内 .连续
当 x1时 ,
limf(x)lim (1x)2.
x1
x1
lif m (x )lif m (x )
x 1
x 1
limf(x)limcosx0. 故 f(x)在 x1间.断
x1
x1
2
当x1时,
x0
xl ixm 0 f(x)f(x0)
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
又x=1为可去间断，故limf(x)存在 x1
1 b li(x m b ) li[f m (x )(x a )x ( 1 )]
x 1
x 1
lif( m x )li (x m a )x ( 1 )0 x 1 x 1
b1
例
已 l x 0 i知 1 m fe (3 x x ) s1 2 ix n 1 2 ,求 l x 0 ifm (x )
2
2
22 2
若 F(0)0,F(1)0,则 2
F(0)F(1) [f(1)f(0)]2 0.
2
2
由零点定理பைடு நூலகம்,
(0,1)使 , F()0.
2
即f(1)f()成.立
2
综上, 必有 一 [0,1] 点 [0,1],
2
使f(1)f()成.立
2
例 设 x 10 ,证 x n 明 11 2(x nx a n)有(极 a0 )限 证 显然 xn0
由夹逼定理知
ln im hn 0
lim nn1 n
例 确a定 ,b的值f， (x)使xb 有无 (xa)(x1)
间断 x点 0,，有可去 x1间断点
解 因f(x)在x=0处为无穷间断，即
limf(x)
x0
0lim 1li(m x a )x ( 1 ) x 0 f(x ) x 0 x b
limxa a0 ,b0 x0 xb
第一章 函数与极限习题课
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反双曲函数
反函数与直接 函数之间关系
函数 的性质
奇偶性 单调性 有界性 周期性
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数
lim
x
x0(1cosx)ln(1 x)
解一
sinxxcos1 原式lxim 0(1cxosx)ln1(xx)
x 10 1
21 2
例 求 lx i1m ( x1)(3 (xx 11 )n ) 1(nx1) 解 令 ux1 则 x1u
由 (1u)1~u得
I l u 0 i(m 1 u 1 )3 1 ( u u n 1 1 ) ( n 1 u 1 )
1 x
n
例 求lim (1tanx)x13. x0 1sinx
解 原式 li[m 1(1tax n1)x 1 ]3 x 0 1sixn
lim [1taxnsix n]x13
x 0
1six n
lx i0m ta 1 xn ssix n ix nx13lx i0m (s1ix n s(1i x n)ccoo xx)ssx13
积化和差 sinαsinβ = [cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
1u1u 1u
lim2 u0
3 un1
n
1 n!
例. 求极限
ln i c m o 2 x cs2 o x 2 s c2 o x ns ,(x 0 )
解
原式 lim co2 xsco2xs2co2xsn2sin 2xn
n
2sin 2xn
ln i m co2 xsco4 xs 22csoi2 n 2sxn xn12sin 2n x1
x
xn
lx i (m a0a x 1a x n n 1 1a x n n)
a0 0
故由函数极限的保号性质可知 X 0 0 ,使 |x | 当 X 0 时 fx(nx)与a0同号， 亦即 |x | X 0 时 ， f(x ) 与 ， 当 a 0 x n 同号
又 n 是奇数，所以 a0( 2X 0)n与 a0(2X 0)n异号
f ( 2 X 0 ) f ( 2 X 0 ) 0 而 f(x)在 [2X 0,2X 0]上连续
故由零点定理知 ( 2 X 0 ,2 X 0 ) ， f() 使 0
即 a 0xna 1xn 1a n 1xa n0 至少有
和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
xn11 2(xnxan) a
xn1xn12(xanxn)
1 a xn2 0 2 xn
即xn单调减，有下界
故由单调有界原理得 ln imxn存在
设 ln i m xnA ，A 则 0
在xn1 12(xnxan)两边取极限得
A1(A a) 2A
解得 A a,A a（舍去）
例求
sinx x2 cos1
2、间断点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
二、例题
例 当 x1时 ,
求 li(m 1x)1 (x2)1 (x4)(1x2n). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
lx i0s m x ixn 1x c2o x(s 1s1 ixn )co xs12
1
原 式 e2 .
例 设p(x)是多项 ,且式 lx i mp(xx)2x3 2, limp(x)1,求p(x). x x0
解 lx i mp(xx)2x3 2, 可 p (x 设 )x32x2a x b (其 a ,b 中 为待 )
原 li 式 ( 1 m x )1 (x )1 (x 2 )1 (x 4 ) ( 1 x 2 n )
n
1 x
(1 x 2 )1 ( x 2 )1 ( x 4 ) (1 x 2 n)