1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同.错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大.错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。
3、如果数列有界,则极限存在.错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ,a a n n =∞→lim .错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim =-∞→n n ,但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小).正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。
6、如果α~β,则()α=β-αo .正确 ∵1lim =αβ,是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小.正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x .错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0.错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点.错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点.11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题:1、设()x f y =的定义域是()1,0,则(1)()x e f 的定义域是( (,0)-∞ );(2)()x f 2sin 1-的定义域是( ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭);(3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ). 答案:(1)∵10<<x e (2)∵1sin 102<-<x(3)∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是( (]4,2- ).3、设()2sin x x f =,()12+=ϕx x ,则()[]=ϕx f ( ()221sin +x ).4、nxn n sin lim ∞→=( x ).∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩,则()10lim x f x →--=( 2 ),()=+→x f x 01lim ( 0 ). ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=,()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ,如果()x f 在0=x 处连续,则=a ( 21 ).∵21cos 1lim 20=-→x x x ,如果()x f 在0=x 处连续,则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点,则()=→x f x x 0lim ( ()0x f ).∵初等函数()x f 在定义区间内连续,∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →( 1 )时为无穷大,当x →( ∞ )时为无穷小.∵()∞=-→2111limx x ,()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ,则=a ( 1 ),=b ( 21-). ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立,令012=-a ,∴1a =±,上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =,021=+ab ,12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是( 1,0-==x x ). 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是( ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ).12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ,则=a ( 2 ). ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim ( 0 ),=∞→xx x 1sin lim ( 1 ), ()=-→x x x 101lim ( 1-e ),=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim ( k e ). ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=( 不存在 ),lim sin(arccot )x x →+∞=( 0 )三、选择填空:1、如果a x n n =∞→lim ,则数列n x 是( b )a.单调递增数列 b .有界数列 c .发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是( a )a .奇函数b .偶函数c .非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时,1-x e 是x 的( c )a .高阶无穷小b .低阶无穷小c .等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤(M 是正数),则函数()x f 在该邻域内( c )a .极限存在b .连续c .有界5、函数()x f x-=11在( c )条件下趋于∞+. a .1→x b .01+→x c .01-→x6、设函数()x f xxsin =,则()=→x f x 0lim ( c )a .1b .-1c .不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知:()x f x 0lim →不存在。
7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在,则函数()x f 在0x 点( c )a .有定义b .无定义c .不一定有定义∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列1,1,21,2,31,3,…,n1,n ,…当∞→n 时为( c ) a .无穷大 b .无穷小 c .发散但不是无穷大9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的( b )a .充分条件b .必要条件c .充分必要条件 10、点0=x 是函数1arctan x的( b )a .连续点b .第一类间断点c .第二类间断点∵001lim arctan 2x x π→-=- 001lim arctan 2x x π→+=根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点0=x 是函数x1sin 的( c )a .连续点b .第一类间断点c .第二类间断点 四、计算下列极限:1、()nn nn 31lim -+∞→ 解 ()31))1(3131(lim 31lim =-⋅+=-+∞→∞→n n n n n nn 2、0tan 3limsin 2x xx→解 0tan 3lim sin 2x x x →2323lim 0==→x x x (∵x x 2sin ,0→~2,tan3x x ~x 3) 3、⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+∞→x x x x x lim4、()n n n n n --++∞→221lim解 ()()()nn n n nn n nnn n nn nn nn n -+++-+++--++=--++∞→∞→22222222111lim1lim5、xx x x x sin lim 2300+++→6、11sin lim 20-+→x xx x 7、11lim 0--→x x x8、1lim1--→x xx x9、30tan sin lim x x xx →-(∵210,1cos 2x x x →-:,sin x :)10、xx x 2cos 1lim0--→解()21221lim2cos 1lim20000-==--→-→x x xx x x(∵x x cos 1,0-→~221x )11、1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解121111lim lim 111xx x x x x e x x e e x -→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x 11ln lim解 ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→xx xx x x 13、xx xx x cos cos lim+-∞→解 cos 1cos lim lim 1cos cos 1x x x x x x x x x x→∞→∞--==++14、⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x 解 2211121111lim lim lim 11112x x x x x x x x →→→-⎛⎫-==-=- ⎪---+⎝⎭ 15、x 解lim lim 1x x →∞→∞==16、x x x cos 1sin lim 00-+→ 解000000sin sin lim lim lim x x x x x x →+→+→+===17、()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n Λ 解 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅+⋅∞→11321211lim n n n Λ。