(1)所有的自然数不是无理数。(简单判断、性质判断 )
(2)2小于3。(简单判断、关系判断) (3)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(复合
判断、充分条件假言判断) (4)一个自然数只有能被3整除，才能被9整除。(复合
判断、必要条件假言判断) (5)当且仅当两直线的斜率相等时，这两直线才平行
。(复合判断、充分必要条件假言判断) (6)平面上的两直线若不平行，则互相垂本运算有否定(非)、合取(与)、析取(或)、
蕴涵(若……则……)、等价(当且仅当)等。 (1)否定。 (2)合取 (3)析取。 (4)蕴涵。 (5)等价。
• 非、与、或、若……则……、当且仅当统称为 逻辑联结词。在一个命题中若没有逻辑联 结词出现，则该命题称为简单命题，否则 叫做复合命题。
• 命题是一种特殊表达形式的语句，“有所 断定”是判断的基本特征。
• 如“4是素数吗？”不是判断，无所断定 的语句不是判断即不是命题，因为它既没 有肯定什么，也没有否定什么。
• 命题具有真、假意义 如“凡直角都相等 ” 是真的，“正三角形是中心对称图形”是 假的，因此可知，命题是具有真假意义的 语句，具有真意义的命题称为真命题，反 之为假命题。
• 划分必须按一定标准进行 。逻辑 学上的划 分是一种专有名词的
• 任何划分包含三部分，它们是划分的母项 （属概念）、划分的子项（各个种概念） 以及划分的标准
划分必须遵守一定的原则（要求）： ①划分必须按照同一标准（定义所规定）； ②划分的各子项间必须是不相容关系（定义 所规定）；
③划分必须相称，即划分的子项的外延之和 必须等于被划分的属概念的外延；
• 逆否命题：若两个角不相等，则这两
个角不是对顶角。
(真)
• 判断的种类 在逻辑学中,判断可按不同的标准进行分类： • 按判断的量分类，有全称判断，特称判断 • 按判断的质分类，有肯定判断，否定判断
• 按判断的关系分类，有直言判断，假言判 断，选言判断
• 按质与量来分，共有4 类
• 按判断本身是否还包含有其他判断可分为 简单判断和复合判断。简单判断是不包含 有其他判断的判断，复合判断是包含有至 少一个其他判断的判断。如下列的判断分 别是相应的简单判断和复合判断。
AB＞AC。
(真)
•
否命题：在△ABC中，若AB≯AC，则
∠C≯∠B。
(真)
•
逆否命题：在△ABC中，若∠C≯∠B，则
AB≯AC。
(真)
例3
• 原命题：若两个角是对顶角，则这两
个角相等。
(真)
• 逆命题：若两个角相等，则这两个角
是对顶角。
(假)
• 否命题：若两个角不是对顶角，则这
两个角不相等。
(假)
• 逆命题：若一个四边形的对角线互相
垂直，则它是平行四边形。
(假)
• 否命题：若一个四边形不是平行四边 形，则它的对角线不互相垂直。 (假)
• 逆否命题：若一个四边形的对角线不 互相垂直，则它不是平行四边形。(假)
例2
•
原命题：在△ABC中，若AB＞AC，则
∠C＞∠B。
(真)
•
逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则
第四讲 数学概念和命题
数学概念的划分
• 概念的内涵借助于定义来揭示，那么概念 的外延借助于哪种方法来揭示呢？
• 前面讲述的概念间的关系是揭示外延的一 种方法，此外还有借助于概念的划分来揭 示概念外延的方法。
• 概念的划分是把一个属概念，按一定标准 分为若干个不相容的种概念的逻辑方法。
• 划分是一种科学的分类，与通常将某一事 物分成若干种情况的说法，在意义上有较 大差别。
• 以p、q分别表示简单命题，以上五个联结 词结合简单命题形成如下五类复合命题。
• 负命题 • 联言命题 • 选言命题 • 充分条件假言命题 • 充分必要条件假言命题
• 3．命题运算律
•
(1)复合命题的真值。一个复合命题的
真值取决于构成它的各个命题的值，可以
利用真值表来计算。
• (2)命题运算中常用的定律。
• 不符合要求④，直角梯形最邻近的属是梯 形，而不是四边形，按划分的要求，四边 形应划分为：
• 这样的划分是按照标准“四边形的每组对 边的平行关系”其中没有一组对边平行为 一类，只有一组对边平行为一类，有两组 对边平行为一类，共三类，故划分为 个子 项。
• 数学的判断
• 判断同概念一样也是思维的一种形式，它 反映了概念与概念的联系。
数学命题的四种形式及其关系
• 在数学中，为了全面地研究命题中条件和 结论的逻辑联系，往往把一个命题的条件 和结论换位，或者把条件和结论变为它们 的否定，就可以得到三个新的命题。
• 互逆关系。 • 互否关系。 • 互逆否关系。
例1
• 原命题：若一个四边形是平行四边形
，则它的对角线互相垂直。
(假)
④划分不能越级，而被划分的属概念必须是 划分的各子概念的最邻近的属概念。
• ①是保证划分的一致性，不能混乱；要求 ②和③是保证划分“不漏”、“不重”； 要求④是保证划分层次分明、清晰、合理 。
• 不符合要求①和②，划分中没有同一标准，且各 子项关系不是不相容关系
• 不符合要求③，其中只有两边相等的三角 形被漏掉
• 判断表 达人们对思维对象具有某种属性或 不具有某种间的属性的断定
• 判断是对思维对象有所断定的思维形式。
• 判断必须通过语言或符号来表达与用词语 表达概念不同，判断的表达形式是语句。
• 我们将表达判断的语句叫做命题。
• 这3 个语句都是判断，它们都表达了对思维 对象的性质或关系作出了肯定或否定。
垂直。(复合判断、选言判断)
• (7)3既是整数又是实数。(复合判断、联言判 断)
• (8)并非所有实数都是有理数。(复合判断、 负判断)
数学命题
1．数学命题的意义 3＞2，(a+b)2=a2+2ab+b2，△ABC≌△A’B’C’
判断有真假之分，命题也相应地有真假之分 。用A、B、C或者p、q、r表示任意的命题 ，当p是真命题时，记作“p=1”，p是假命 题时，记作“p=0”。1和0称为命题的真值 。