图 1图2圆梦2015·高三数学（理）仿真模拟三一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A ,{}01B x x =≤≤,则AB =（ ） A ．()0,+∞ B ．[]0,1C ．(]0,1D ．[)0,12．设i 为虚数单位,若复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,则实数m =（ ）A ．3-B ．3-或1C ．3或1-D ．1 3．设函数sin 2y x x =的最小正周期为T ,最大值为A ，则（ ）A ．T π=,A = B . T π=,2A = C ．2T π=,A = D ．2T π=,2A = 4．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是 中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ）A ．3π B ．23π C ．π D ．2π5．给定命题p ：若20x ≥，则0x ≥；命题q :：已知非零向量,,a b 则 “⊥a b ”是“-+=a b a b ”的充要条件.则下列各命题中,假命题的是（ ）A ．p q ∨B ． ()p q ⌝∨C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝6．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-7．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为22,则输出的s 的值为（ ）A ．232B ．211C ．210D ．191 8．将2n 个正整数1、2、3、…、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个 数表的“特征值”.当2n =时, 数表的所有可能的“特征值”最 大值为（ ）A ．3B ．43 C ．2 D ．32二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分,满分30分．(一)必做题(9～13题)9．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 10. 不等式321x x +>-的解集为_________.11．若420443322104,)1(a a a x a x a x a x a a x ++++++=-则的值为_______.12．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________.13．如果实数x y 、满足30101x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若直线10x ky +-=将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为______.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .15.(几何证明选讲) 如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ， 已知3=AD ，33=AC ，圆O 的半径为5，则圆心O到AC 的距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.A. .ACDBEF图5图6ABCD PEF佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指 出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图5,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如图6所示),连结AP 、EF 、PF ,其中PF =(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.19.(本题满分14分)如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线90x -=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM ,求t 的值.排球队篮球队图4图7数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----.21.(本题满分14分)已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．180 ；10．2,43⎛⎫-⎪⎝⎭；11．8 ；12．24 ；13．13 ；14．；15．2．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………………………………2分又2a =，所以222cos 2a cb B ac +-=， ………………………………………3分23b==………………………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =……………………………………………………2分 ∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………………………3分又2sin cos B B B =……………………………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =.…………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，……………………………………………………………7分 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………8分 sin cos cos sin 33B B ππ=+ …………………………………10分12=+………………………………………11分=…………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人,篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P ,解法二图ABCD PEFH()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , ()2P X ==20615141213=C C C C ,………………………………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）所以X 的分布列为……………………………………………11分 所以X 的数学期望20232062*********=⨯+⨯+⨯=EX .……………………………………………12分 18．（本小题满分14分）(Ⅰ)由翻折不变性可知,6PB BC ==,9PE CE ==,在PBF ∆中,222201636PF BF PB +=+==,所以PF BF ⊥ ……………………………………2分在图1中,易得EF ==……………………………………3分在PEF ∆中,222612081EF PF PE +=+==,所以PF EF ⊥ ……………………………………4分又BF EF F =,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED . ……………6分（注：学生不写BF EF F =扣1分）(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则()6,0,0A ,(6,8,P ,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以(AP=,(FP =,()6,5,0EF =, …………8分 设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则00FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即0650z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得560x yz ⎧=-⎪⎨⎪=⎩令6y =-,得()5,6,0=-n ,……………………………………………………………………………12分 设直线AP与平面PEF 所成角为θ,则sin AP AP θ⋅===n n. 所以直线AP 与平面PEF . ……………………………………………14分 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,15 98由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又EF PF F =,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. ………………………………………………………9分在Rt APF ∆中,AP …………………………………………11分在AEF ∆中,由等面积公式得AF AD AHEF ⋅==………………………………………………13分在Rt APH ∆中,sin427AH APH AP ∠===所以直线AP 与平面PEF . ……………………………………………14分 19．（本小题满分14分）(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b +=(0a b >>),依题意,19242b -==, ……………………………………………………………………1分 所以2b = …………………………………………………………2分 又1c =, ………………………………………………………3分所以2225a b c =+=, ………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ………………………………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,……………………………………………………………………7分因为PM QM ⊥,所以QM ==8分=…………………………………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………………………………10分且maxQM==,解得3182t =<(舍去). ……………………………………………11分当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, ………………………………………12分且max2QM==,解得218t =,又102t <<,所以4t =……………………………13分综上,当4t =,QM 的最大值为2. …………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………………………………………………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==.………………………………………………………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. ……………………………………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， ………………………………4分因为数列{}n a 、{}n b的每一项都是正数，所以1n a +…②.于是当2n ≥时，n a …③.………………………………………………………………4分将②、③代入①式，可得 ………………………………………………………5分因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）()122n d n -=+，于是()241n b n =+. ………………………………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()41n a n n +. ………………………………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.………………………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .………………………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）. 因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, ………………………10分 所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分当1n =时，1277<. …………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----……………………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭. …………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ………………………………………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a …………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭.当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. …………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=；当3n =时，111111272347714147++<++=. ……13分（验证不写扣1分） 综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 21．（本小题满分14分）()f x 的定义域为()0,+∞.……………………………………………………………………………1分(Ⅰ)若1a =，则()()11ln 2f x x x x =+-，此时()12f =.因为()1212f x x x '=+-，所以()512f '=, ………………………………………………2分 所以切线方程为()5212y x -=-，即5210x y --=. …………………………………………3分（Ⅱ）由于()1ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x+-'=+-=， ……………………………………………4分令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），且当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增,()f x的极小值点为x =…5分⑵ 当0a <时，()221ln ,21ln ,02x ax x x a f x x ax x x a⎧+-≥-⎪⎪=⎨⎪---<<-⎪⎩. …………………………………6分① 当x a ≥-时，()24212x ax f x x +-'=，令()0f x '=，得1x =,2x a -(舍去).a ≤-，即a ≤()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；a >-，即02a -<<， 则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在区间()1,a x -上是单调递减，在()1,x +∞上单调递增. ……………………………………7分② 当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-， …………………………………8分 若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x ，4x 且340x x a <<<-，当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在区间()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减. ……………9分综上所述,当2a <-时,()f x 的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当2a -≤≤,()f x 的极小值点为x a =-；当a >,()f x 的极小值点为x =…………………………………………………10分（Ⅲ）函数()f x 的定义域为()0,x ∈+∞. 由()0f x >，可得ln 2xx a x +>…（*） …………………………………………………11分 （ⅰ）当()0,1x ∈时，ln 02xx <，0x a +≥，不等式（*）恒成立；（ⅱ）当1x =时，ln 02xx=，即10a +>，所以1a ≠；………………………………………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式（*）恒成立等价于ln 2x a x x <--恒成立或ln 2xa x x>-+恒成立.令()ln 2x g x x x =--,则()221ln 2x x g x x --+'=.令()21ln x x x ϕ=--+,则()211220x x x x x ϕ-'=-+=<, 而()2111ln120ϕ=--+=-<，所以()21ln 0x x x ϕ=--+<，即()221ln 02x xg x x --+'=<， 因此()ln 2xg x x x=--在()1,+∞上是减函数，所以()g x 在()1,x ∈+∞上无最小值， 所以ln 2xa x x<--不可能恒成立. 令()ln 2xh x x x=-+，则()2221ln 21ln 1022x x x h x x x --+-'=-+=<，因此()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以()()11h x h <=-，所以1a ≥-.又因为1a ≠-，所以1a >-.综上所述，满足条件的a 的取值范围是()1,-+∞.………………………………………………………14分。