–1–2–3123D C B A 0北京市2020年中考数学模拟试题含答案考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图所示，用刻度尺度量线段AB, 可以读出线段AB 的长度为 (A) 5.2cm (B) 5.4cm(C) 6.2cm(D) 6.4cm2.怀柔素有“北京后花园”之称，因为有着“一半山水一半城，山凝水重入画屏”的美丽自然景观，吸引着中外游客. 2016年1至11月怀柔主要旅游区(点)共接待中外游客约为5870000人次.将5870000用科学记数法表示为 (A)5.87×105(B) 5.87×106(C) 0.587×107 (D)58.7×1053．数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的两个点是 (A) 点B 与点C (B) 点A 与点C (C) 点A 与点D (D)点B 与点D 4.下列各式运算结果为9a 的是（A ）33a a + (B)33()a （C ）33a a ⋅ (D)122a a ÷5.下列成语中描述的事件是随机事件的是（A ）水中捞月 （B ）瓮中捉鳖 （C ）拔苗助长 （D ）守株待兔6．下面的几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同，大小均相等的是（A）圆柱 (B)圆锥 (C)三棱柱（D）球7．内角为108°的正多边形是(D)(C)(B)（A)8．如图，函数y =-2x2的图象是（A）①（B）②（C）③（D）④9．如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，于是他想到了一个办法，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的O点，连接算出A,B间的距离为D CBA第9题图第8题图（A ）30m （B ）40m （C ）60m （D ）80m10．在“校园读书月”活动中，小华调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图.下面有四个推断： ①这次调查获取的样本数据的众数是30 元 ②这次调查获取的样本数据的中位数是40元 ③若该校共有学生1200人，根据样本 数据，估计本学期计划购买课外书花费 50元的学生有300人④花费不超过50元的同学共有18人 其中合理的是(A) ①② (B) ②④ (C) ①③ (D) ①④二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.分解因式：a am 1822 =_______________．12．写出图象经过点（-1，2）的一个函数的表达式____________________.13．如图，在Y ABCD 中，ED=2，BC=5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AB 的长为_______________．14．上图中的四边形均为矩形.根据图形，写出一个正确的等式：_______________.15．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表/元banm14题图13题图EDCBAFEDCBA未知数x ，y 的系数．因此，根据此图可以列出方程：x+10y=26．请你根据图2列出方程组 ．16．数学活动课上，老师让同学们围绕一道尺规作图题展开讨论，尽可能想出不同的作法：老师说：“小强的作法正确．”请回答：小强这样作图的依据是: ．三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17. 计算：(1012354sin 302π-︒⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.18．已知210a a +-=，求代数式2(1)(1)(1)a a a +++-的值． 19．如图，在ABC V 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边的中点， CE=CD ，∠B =∠E ． 求证：CF=DF ．20．解不等式组：72,43(1) 2.x x x x +⎧<++≥⎪⎨⎪⎩ 21.调查作业：了解某家超市不同品牌饮料的销售情况.已知：如图，直线L 和L 外一点P. 求作：直线PQ ，使PQ ⊥L 于点Q ． 小强的作法如下：1.在直线L 上任取一点A ，连接PA ；2.分别以A ，P 为圆心，以大于21AP 长为半径 作弧，两弧交于C ，D 两点； 3.作直线CD ，交AP 于点O ；4.以O 为圆心，以OA 长为半径作圆，交直线L 于点Q ；5.作直线PQ.所以直线PQ 即为所求. PlDCO AQPl为调查不同品牌饮料的市场销售情况，小东和小芸两位同学对一家超市进行了调查，二人在某天对照50名顾客购买饮料的品牌进行了记录.小东的作法是：如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌名字记录一次.表1是记录的初始数据. 表1 统一冰茶 可口可乐 统一冰茶 汇源果汁 露露 露露 统一冰茶 可口可乐 露露 可口可乐 统一冰茶 可口可乐 可口可乐 百事可乐 统一冰茶 可口可乐 百事可乐 统一冰茶 可口可乐 百事可乐 百事可乐 露露 露露 百事可乐 露露 可口可乐 统一冰茶 统一冰茶 汇源果汁 汇源果汁 汇源果汁 统一冰茶 可口可乐 可口可乐 可口可乐 可口可乐 百事可乐 露露 汇源果汁 百事可乐 露露 可口可乐 百事可乐 可口可乐 露露 可口可乐统一冰茶百事可乐汇源果汁统一冰茶记录之后，小东对上述收集的数据进行了整理，绘制了表2： 表2 表3 饮料名称 画记 频数 可口可乐 正正正 15 统一冰茶 正正一 11 百事可乐 正 9 露露 正9 汇源果汁 正一 6 合计50小芸的作法是：先设计一个统计表，再进行数据的收集与整理，她的方法是如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌在相应的表格中画记一笔“正”字，上面表3是小芸设计的表格及调查时画记和填写的数据. 根据以上材料回答问题：饮料名称 频数 可口可乐 15 统一冰茶 11 百事可乐 9 露露 9 汇源果汁 6 合计50xy–4–3–2–11234–5–4–3–2–112345BAO 本次调查如果让你去做，在收集整理数据时，你会选择他们中的哪种方法？请你说明理由或者介绍一种新的方法.22．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ． （1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若∠E=60°，AC=43求菱形ABCD 的面积．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 与双曲线ky x相交于A ，B 两点，已知A （1，3），B(-3,m).（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如果点P 是y 轴上一点，且ABP △的面积是4，求点P 的坐标．24．阅读下列材料：为保障和改善民生建设，北京市建立了以最低生活保障为基础、专项救助相配套、临时救助为补充的城乡社会救助体系，逐年提高救助标准，全市困难群众基本生活得到较好保障，并达到全覆盖的目的.2013年底全市共有农村低保人数5.96万人,城市低保人数10.37万人.2014年底全市共有农村低保人数5.13万人,比上年同期减少了13.9%，城市低保人数8.91万人，比上年同期减少了14.1%.2015年底全市共有农村低保人数比上年同期减少了 4.8%,城市低保人数8.49万人.2016年底全市共有低保人数12.68万人，其中农村低保人数比城市低保人数少3.36万人.根据以上材料解答下列问题：OEDC BA(1)2015年底北京市农村低保人数约为 万人； (2)2016年底北京市城市低保人数约为 万人；(3)利用统计表或．统计图将2013 - 2016年北京市农村低保人数和城市低保人数表示出来； (4)针对以上文字内容，谈谈你的看法.25.如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，AD=DC ，连结DE ． （1）求证：AB=AC; （2）若1sin 3E ，AC=42a ，求△ADE 的周长（用含a 的代数式表示）.26．已知y 是x 的函数，下表是y 与x 的几组对应值.x 2 3 456 7… y12 3 25…小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的表达式，图象和性质进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整:(1)根据上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律， 写出该函数的表达式: ; (2)该函数自变量x 的取值范围是 ;(3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根据描出的点，画出该函数的图象;(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: .27．已知二次函数122-++=a ax axy （a>0）.（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）求该抛物线的顶点坐标；（3）结合函数图象回答：当x ≥1时，其对应的函数值y 的最小值范围是2≤y ≤6，求a 的取值范围.28．（1）如图1，在△ACB 和△ADB 中，∠C=∠D =90°，过A ，B ，C 三点可以作一个圆，此时AB 为圆的直径，AB 的中点O 为圆心.因为∠D =90°，利用圆的定义可知点D 也在此（2）如图2，在△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CE ⊥AB 于E ，点F 是CE 中点，连接AF 并延长交BC 于点D.CG ⊥AD 于点G ，连接EG. ①求证:BD=2DC;②借助（1）中求角的方法，写出求EG 长的思路.（可以不写出计算的结果）29. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x,y ）,若过点p 的直线与x 轴夹角为60°时，则称该直线为点P 的“相关直线”， （1）已知点A 的坐标为（0,2），图2GFED CBA图1OB A求点A的“相关直线”的表达式；（2）若点B的坐标为（0，3），点B的“相关直线”与直线y=32交于点C，求点C的坐标；（3）⊙O的半径为3，若⊙O上存在一点N，点N的“相关直线”与双曲线y=x 33(x＞0)相交于点M,请直接写出点M的横坐标的取值范围.FEDCBA数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.)3)(3(2-+m m a 12.答案比唯一.如：y=-2x. 13．314.(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 15.22218x y x y +=⎧⎨+=⎩16．直径所对的圆周角是90º；两点确定一条直线.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)17解：(10134sin 302π-︒⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.123142=+-+⨯…………………………4分6=5分18．解：22211a a a =+++-原式 ………………………2分222a a =+.………………………………3分∵210a a +-=，∴原式22()2a a =+=． …………………………5分19． 证明：∵在ABC V 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边的中点，∴CD=BD. ………………………………1分∴∠DCB =∠B ．………………………………2分 ∵CD=CE,∴∠CDE =∠E ．………………………………3分 ∵∠B =∠E,∴∠DCF =∠CDF ．………………………4分 ∴CF=DF ．………………………………5分20. 解不等式①，得x ＜1.……………………………………………2分解不等式②，得x ≥1-2.………………………………………4分 ∴不等式组的解集为：1-2≤x ＜1. ………………5分21.选择小芸的作法. ……………………………2分因为小芸的方法清晰，方便，简明.（答案不唯一）……………………………5分 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD ，AB ∥CD. ……………………1分又∵BE=AB ，∴BE=CD.………………………2分∵BE∥CD,∴四边形BECD 是平行四边形.………………………3分 （2）解：∵四边形BECD 是平行四边形，∴BD ∥CE. ∴∠ABO=∠E=60°. ……………………4分 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC=∴OA=OC=∴OB=OD=2. ∴BD=4. ∴菱形ABCD 的面积=11422AC BD ⨯⨯=⨯=5分 23.解：（1）把A （1，3）代入y=x+b 中，得3=1+b ，解得b=2 . ∴一次函数的表达式为2y x =+. ………………… 1分；把A （1，3）代入k y x =中，得31k=，解得k=3 . ∴反比例函数的表达式为3y x=. ………………… 2分；（2）把B(-3,m)代入y=x+2，可得B （－3，－1）.设一次函数2y x =+的图象与y 轴的交点C 的坐标为（0，2）. ∵S △ABP = 4，F ABCDEO∴1113422PC PC ⋅+⋅=. ∴2PC =.……………………………4分∴点P 的坐标为（0，0），（0，4）．……………………5分 24． 解：(1)4.88. …………………………1分(2)8.02 .…………………………2分(3) 2013 — 2016年北京市农村低保和城市低保人数统计表低保类别 人口数量(万人) 年度农村低保城市低保2013 5.96 10.37 2014 5.13 8.91 2015 4.88 8.49 20164.668.02数值近似即可…………………………4分（4）北京市低保人数逐年递减，政府加强了民生的保障和改善，社会生活水平有新的提高.（答案不唯一，要体现正能量）……………………………5分 25. （1）证明：∵AD=DC ，∴∠CAD=∠C.∵AC 是⊙O 的切线，∴∠CAE=90°. ………………………1分 ∴∠CAD+∠EAD=90°.∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE=90°. ∴∠E+∠EAD=90°.∴∠CAD=∠E. 又∵∠E=∠B ，∴∠C=∠B.年份人数（万人）2013—2016年北京市农村低保和城市低保人数统计图∴AB=AC. ……………………………2分 （2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F.①由DA=DC ，AC=42a ，可得CF=12AC =22a .②由∠C=∠E ，1sin 3E =，可得1sin 3C =.在 Rt △CDF 中，求出CD=DA=3a. (或利用△CDF ∽△ADE 求). ……………………………3分 ③在 Rt △ADE 中，利用1sin 3E =，求出AE=9a. 再利用勾股定理得出DE=2a .……………………………4分④△ADE 的三边相加得出周长为12a+2a .……………………………5分 26．2x -……………………………2分(2)x ≥2; ……………………………3分 (3) 如图：……………………………4分 (4) x ≥2时，函数图形y 随x 的增大而增大. ……………………………5分 27．解：（1）令y=0. ∴0122=-++a ax ax . ∵△=)1(442--a a a=4a,……………………………1分 ∵a>0,∴4a>0.∴△>0.∴抛物线与x 轴有两个交点. …………………2分 （2）212ax a=-=-.……………………………3分 把x=-1代入122-++=a ax ax y .∴y=-1.∴顶点坐标（-1，-1）.…………………4分 （3）①把（1,2）代入122-++=a ax axy .MHABC D FG∴43=a .……………………………5分 ②把（1,6）代入122-++=a ax ax y .∴74a =.……………………………6分 ∴由图象可知：43≤a ≤74.……………………………7分28． 解：（1）31°. ……………………………2分（2）①过点E 作EH ∥AD 交CB 于H 点. ……………………3分 ∵CE ⊥AB 于点E ，AC=BC ， ∴点E 是AB 中点.∴BH=DH. ∵点F 是CE 中点，∴HD=DC.∴BD=2CD. ……………………………4分 ②∵CE ⊥AB 于点E ，∴∠CEA=90°.∵CG ⊥AD 于点G ，∴∠CGA=90°.∴AC 为圆的直径. ∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAE =45°.∵CE ⊥AB 于点E ，∴∠ACE =45°.∴∠AGE=45°. ……………………………5分 方法1：解斜三角形法在Rt △DCA 中，因为∠C =90°, CG ⊥AD 于点G ，DC=1. 所以可以求出CG 的长. ……………………………6分 又因为∠CGE==135°,CE=2. 解△ECG 可求出EG 的长.（此题解△AEG 也可行）…………………7分 方法2：证明等腰直角三角形法.延长CG 交EH 于M 点.因为EH ∥AD 交CB 于H 点，点F 是CE 中点， 所以点G 为MC 的中点.因为==GFD CBAKABCDEFG∴CG=10.∴MG=10.……………………6分 因为∠EGA=∠ACE=45°,所以∠CGE==135°. 所以∠MGE=∠GEM=45°,所以GE 可解. ∵ME=MG=10.，∴EG=5.………………………7分 方法3：相似法∵AC=BC=3，∴AB=∴AE=2.∵CD=1，∴BD=2，AD =.∵∠AGE=∠B= 45°, ∠DAB=∠EAD.∴△AGE :△ABD. …………………6分∴AE GEAD DB =.2EG =.∴.………………………7分 方法4：旋转法：过E 作EK ⊥GE 交AD 于点K ， 可证△AKE ≅△CGE （ASA ）. …………………6分 ∴AK=CG=10.∵CD=1，AD =,∴∴.∴.……………………………7分 29. 解：（1）①当过点A 的直线与x 轴正方向夹角为60°时，点A 的相关直线表达式：23+=x y .……………………………1分②当过点A 的直线与x 轴负方向夹角为60°时，点A 的相关直线表达式：23+-=x y .……………………………2分（2）可知BC 1直线表达式为33+=x y ,∴C 1（1，32）.………………………3分同理C 2（-1，32）.（3）设点N 1的“相关直线”与⊙O 相切，交双曲线x y 33=于点M 1.可求得直线N 1 M 1的表达式为323+=x y .………4分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 33323x=1或 x=-3（舍）.……………………………5分 ∴M 1（1，33）.……………………………6分 同理M 2（3，3）.……………………………7分 ∴M 的横坐标的取值范围是1≤X M ≤3. ………………8分。