第五章 X 射线衍射分析原理一、教材习题5-2 “一束X 射线照射一个原子列（一维晶体），只有镜面反射方向上才有可能产生衍射”，此种说法是否正确？答：不正确。

（根据劳埃一维方程，一个原子列形成的衍射线构成一系列共顶同轴的衍射圆锥，不仅镜面反射方向上才有可能产生衍射。

） 5-3 辨析概念：X 射线散射、衍射与反射。

答：X 射线散射：X 射线与物质作用（主要是电子）时，传播方向发生改变的现象。

X 射线衍射：晶体中某方向散射X 射线干涉一致加强的结果，即衍射。

X 射线反射：晶体中各原子面产生的反射方向上的相干散射。

与可见光的反射不同，是“选择反射”。

在材料的衍射分析工作中，“反射”与“衍射”通常作为同义词使用。

5-4 某斜方晶体晶胞含有两个同类原子，坐标位置分别为：(43，43，1)和（41，41，21），该晶体属何种布拉菲点阵？写出该晶体(100)、(110)、(211)、(221)等晶面反射线的F 2值。

答：根据题意，可画出二个同类原子的位置，如下图所示：如果将原子（1/4，1/4，1/2）移动到原点（0，0，0），则另一原子（3/4，3/4，1）的坐标变为(1/2，1/2，1/2)，因此该晶体属布拉菲点阵中的斜方体心点阵。

对于体心点阵：])1(1[)()2/2/2/(2)0(2L K H L K H i i f fe fe F ++++-+=+=ππ⎩⎨⎧=++=++=奇数时，当偶数时；当L K H 0,2L K H f F⎩⎨⎧=++=++=奇数时，当偶数时；当L K H L K H f 0,4F 22或直接用两个原子的坐标计算：()()()()()()()331112()2()4444211111122()2224421112()4421(2)211111111i h k l i h k l i h k l i h k l i h k l h k l i h k l h k l h k l F f e e f e e f ef ef ππππππ++++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭++++++++++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-±⎣⎦所以 F 2=f 2[1+(-1)(h +k +l )]2因此，(100)和(221)，h +k +l =奇数，|F |2=0；(110)、(211)，h +k +l =偶数，|F |2=4f 2。

5-7 金刚石晶体属面心立方点阵，每个晶胞含8个原子，坐标为：（0，0，0）、（21，21，0）、（21，0，21）、（0，21，21）、（41，41，41）、（43，43，41）、（43，41，43）、（41，43，43），原子散射因子为f a ，求其系统消光规律（F 2最简表达式），并据此说明结构消光的概念。

答：金刚石晶体属面心立方点阵，每个晶胞含8个原子，坐标为：(0,0,0)、(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、（0,1/2,1/2)、(1/4,1/4,1/4)、(3/4,3/4,1/4)、(3/4,1/4,3/4)、(1/4,3/4,3/4)，可以看成一个面心立方点阵和沿体对角线平移(1/4,1/4,1/4)的另一个面心立方点阵叠加而成的。

金刚石的结构()111244421i h k l f f ih k l f F F F eF e ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭++=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦或者直接计算，可得到同样的结果：()()()111111202020200022222211133131313322224444444444441i h k l i h k l i h k l i h k l a i h k l i h k l i h k l i h k l i h k i h l i k a e e e e F f e e e e e e e f πππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++⎡⎤+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦+++=()()()()1112444111244411l i h k l i h k i h l i k l i h k l f e e e e F e πππππ+⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎧⎫+⎪⎪⎨⎬⎡⎤⎪⎪+++⎣⎦⎩⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，F f 表示一个面心立方晶胞的反射振幅：]1[)()()(l k i l h i k h i a f e e e f F ++++++=πππ1）当hkl 为奇偶混合时，由于F f =0，所以，|F |2=0。

2）当hkl 全为奇数时，F f =4f a ，h +k +l =2n +1，其中n 为任意整数，则有()()()()()()()211cossin 221cos21sin 21221sin21211ih k l ne h k l i h k l n i n i n iππππππ+++=++++++=++++=++=+-因此，F =4f a (1±i )，22*232)11(16)1(4)1(4a a a a f f i f i f F F F =+=⨯±=⨯=3）当hkl 全为偶数，而且h +k +l =4n 时，F =4f a (1+e 2in )=4f a ×2=8f a|F |2=64f a 24）当hkl 全为偶数，但h +k +l ≠4n ，则h +k +l =2(2n +1)F =4f a [1+ei (2n +1)]=4f a (1+e 2i ×e i )=4f a (1-1)=0|F |2=0可见，在金刚石结构中，除了面心点阵消光外，还存在由于螺旋和滑移两类微观对称要素引起的结构消光。

5-8 “衍射线在空间的方位仅取决于晶胞的形状与大小，而与晶胞中的原子位置无关；衍射线的强度则仅取决于晶胞中原子位置，而与晶胞形状及大小无关”，此种说法是否正确？ 答：不正确。

[对于同一晶体，在同一实验条件下，根据X 射线衍射的方向理论，衍射线在空间的方位仅取决于晶胞的形状与大小，而与晶胞中的原子位置无关，但实验条件不同，如入射X 射线的波长不同，则衍射线在空间的方位不同，样品吸收也会使衍射线的位置也发生变化。

根据X 射线衍射的强度理论，衍射线的强度与晶胞中原子位置有关，与晶胞形状及大小无关，但衍射线的强度并不仅仅取决于晶胞中原子位置。

影响衍射线强度的因素除晶胞中的原子位置外，还有样品的原子种类（不同原子的散射因子和吸收因子不同）、产生衍射的晶面的数量（多重性因子）、实验温度（温度因子）、实验仪器、入射线X 射线的波长（与靶有关）和强度（与实验时的电流、电压有关）、样品的结晶程度和晶粒度大小等因素。

] 5-9 Cu K射线（nm K 154.0=αλ）照射Cu 样品。

已知Cu 的点阵常数a =0.361nm ，试分别用布拉格方程与厄瓦尔德图解法求其（200）反射的角。

解：已知nm k 154.0=αλ，a =0.361nm（1）由布拉格方程求（200）反射的角根据布拉格方程λθ=sin 2d 和立方晶系的晶面间距d HKL 与其晶面指数(HKL )和点阵常数a 的关系222LK H a d HKL ++=，有2222sin L K H aHKL ++=λθ因此427.0002nm361.02nm154.0sin 002200=++⨯=θ求反函数得200=25.28（2）厄瓦尔德图解法求（200）反射的角根据衍射矢量方程s -s 0=R *HKL ，|R *HKL |=l /d HKL 又 222LK H a d HKL ++=222*L K H aR HKL ++=λ853.0002361.0154.0222*200=++=nmnm R 做厄瓦尔德图解的步骤如下：① 作OO *=s 0，|s 0|=|s |=1。

（实际画图时，s 0的长度可以是任意长度，比如2cm 代表单位长度1）② 作反射球，即以O 为圆心、OO *（如2cm ）为半径作球（为简化，只做一个圆就可以了）；③ 以O *为倒易原点，以|s -s 0|=|R *HKL |=0.853（长度0.8532cm=1.706cm ）为半径画圆，与反射球的交点P 即为（200）面的倒易点；④ 联结OP ，OP （s ）即为（200）的反射方向，POO*即为衍射角2。

用量角器量s 和s 0之间的夹角2=50.6，因此=25.3。

两种方法求得的结果一致。

二、补充习题1、简述布拉格公式2d HKL sinθ=λ中各参数的含义，以及该公式有哪些应用？答：布拉格公式2d HKL sinθ=λ中，d HKL是干涉指数为（HKL）的晶面的晶面间距；θ是掠射角（或叫布拉格角，或叫半衍射角），是X射线的入射方向或反射（衍射）方向与（HKL）面之间的夹角；λ是入射X射线的波长。

该公式表达了晶面间距d、衍射方向q和X射线波长l之间的定量关系，其基本应用有：（1）已知X射线的波长l和掠射角q，可计算晶面间距d，从而分析晶体结构；（2）已知晶体结构（晶面间距d）和掠射角q，可测定X射线的波长l，结合莫塞莱定律，可进行化学成分（元素）分析。

2、简述影响X射线衍射方向的因素。

答：影响X射线衍射方向的因素主要有：产生衍射的晶面的晶面间距d（晶胞的形状和大小或点阵常数）、入射X射线的波长、样品化学成分（样品对入射X射线的吸收性质）、实验条件（仪器、衍射方法、样品制备方法、样品安装方法、狭缝宽度等）等。

3、简述影响X射线衍射强度的因素。

答：影响X射线衍射强度的因素主要有：样品的成分和结构（晶胞中原子的种类和位置、晶粒的大小、结晶程度、晶格畸变等）、入射X射线的波长和强度I、产生衍射的晶面的多重性（多重性因子）、衍射时的温度（温度因子）、样品对入射X射线的吸收性质（吸收因子）、实验条件（仪器、衍射方法、样品制备方法、电压、电流、靶、滤波、狭缝宽度等）等。

4、多重性因子的物理意义是什么？某立方系晶体，其{100}的多重性因子是多少？如该晶体转变成四方晶系，这个晶面族的多重性因子会发生什么变化？为什么？答：多重性因子（或叫多重性因数）的物理意义：晶体中晶面间距相等的晶面（组）称为等同晶面（组）。

晶体中各（HKL）面的等同晶面（组）的数目称为各自的多重性因子（P HKL）。

P HKL值越大，即参与（HKL）衍射的等同晶面数越多，则对（HKL）衍射强度的贡献越大。

立方系晶体{100}的多重性因子是6，如果该晶体转变成四方晶系，这个晶面族的多重性因子变为4，这是因为晶体的对称性发生了变化，即：立方系{100}的单形是立方体，等同晶面是6个，而四方晶系{100}的单形是四方柱，等同晶面是4个。