(3) cos ax 3 P1P2 14
cos ay 1 P1P2 14
cos az 2 .
P1P2 14
(4)
e0
P1P2 P1P2
{
3, 14
1 , 2 } 14 14
3 i 14
1 j 14
2 k. 14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余 弦. 解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
习题七
1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：
A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);
D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).
解：点 A 在第Ⅰ卦限；点 B 在第Ⅱ卦限；点 C 在第Ⅷ卦限；
点 D 在 xOy 面上；点 E 在 yOz 面上；点 F 在 x 轴上.
8. 验证： (a b) c a (b c) .
证明：利用三角形法则得证.见图 7-1
图 7-1
9. 设 u a b 2c, v a 3b c. 试用 a, b, c 表示 2u 3v.
解：
2u 3v 2(a b 2c) 3(a 3b c) 2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c
z 轴上的点，x=y=0.
4. 求下列各对点之间的距离：
（1） （0，0，0），（2，3，4）；
（2） （0，0，0）， （2，-3，-4）；
（3） （-2，3，-4），（1，0，3）；
（4） （4，-2，3）， （-2，1，3）.
解：（1） s 22 32 42 29
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到 x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.
在
x
轴上的投影
ax=13,在
y
轴上分向量为
7j.
17.解：设 a {ax , ay , az} 则有
cos
3
a i ai
ax( a
1,
i
1)
求得 ax
1 2
.
设 a 在 xoy 面上的投影向量为 b 则有 b {ax , ay , 0}
则 cos
a b
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
21
21
21
15. 求出向量 a= i +j+k, b=2i-3j+5k 和 c =-2i-j+2k 的模，并分别用单位向量 ea , eb , ec 来表达
向量 a, b, c.
解： | a | 12 12 12 3
故 s0 42 (3)2 52 5 2
sx (4 4)2 (3 0)2 (5 0)2 34
sy 42 (3 3)2 52 41
sz 42 (3)2 (5 5)2 5 .
6. 在 z 轴上，求与两点 A（-4，1，7）和 B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为 M（0，0，z），则
| b | 22 (3)2 52 38
| c | (2)2 (ห้องสมุดไป่ตู้)2 22 3
a 3ea , b 38eb , c 3ec.
16. 设 m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量 a=4m+3n-p 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的
分向量.
解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2 解得 z 14
9 即所求点为 M（0，0， 14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角 三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形.
BD1 BD2 BD3 BD4
c c c c
1a 5 2a 5 3a 5 4 a. 5
11. 设向量 OM 的模是 4，它与投影轴的夹角是 60°，求这向量在该轴上的投影.
解：设 M 的投影为 M ，则
Pr
ju OM
OM
cos 60
4
1 2
2.
12. 一向量的终点为点 B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是 4，-4 和 7，求这向量
的起点 A 的坐标.
解：设此向量的起点 A 的坐标 A(x, y, z)，则
AB {4, 4, 7} {2 x, 1 y, 7 z}
解得 x=-2, y=3, z=0 故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？
答: 在 xOy 面上的点，z=0;
在 yOz 面上的点，x=0;
在 zOx 面上的点，y=0.
3. x 轴上的点的坐标有什么特点？y 轴上的点呢？z 轴上的点呢？
答：x 轴上的点，y=z=0;
y 轴上的点，x=z=0;
10. 把△ABC 的 BC 边分成五等份，设分点依次为 D1，D2，D3，D4，再把各分点与 A 连接，
试以 AB c ， BC a 表示向量 D1A , D2 A , D3 A 和 D4 A .
解：
D1 A D2 A D3 A D4 A
BA BA BA BA
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
az Pr jz P1P2 2.
(2) P1P2 (7 4)2 (1 0)2 (3 5)2 14