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9.4傅里叶级数
若函数f ( x)在区间[ , ]可积,则称 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n 是函数f ( x)的傅里叶系数 .
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f (- 0) f ( 0) 。 2
9.4傅里叶级数
注意1:根据收敛定理的假设, f 是以2 为周期的函数, 所以系数公式中的积分区间 [- , ]可以改为长度为2的任何区间, 而不影响an , bn 的值： 1 c 2 a f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) n c c R b 1 c 2 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n c
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9.4傅里叶级数
三角级数系的正交性
1)任何两个不相同的函数的乘积在[ , ]上的积分等于零,即

π
π π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π

π
π π
cos mx cos nxdx 0 ( m n), cos mx sin nxdx 0 .

若f ( x)是以2 为周期的偶函数,则必有bn 0 因此, 偶函数的傅
里叶级数只含余弦项, 亦称余弦级数
若f ( x)是以2 为周期的奇函数,则必有an 0 因此, 奇函数的傅
里叶级数只含正弦项, 亦称正弦级数
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(2)代入三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 生成傅里叶级数:
(3)用收敛定理判断其和函数.
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9.4傅里叶级数
将下列函数展成傅里叶级数： x 0 0, 例2：f ( x) 0 x 1, 1 1 解 : a0 f ( x)dx dx 1



0
an
bn


1

f ( x) cos nxdx
1


1

0
cos nxdx 0, n 1, 2,3,...
1

f ( x) sin nxdx


0
2 1 , n是奇数 sin nxdx cos nx n 0 n 0, n是偶数
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9.4傅里叶级数
三角级数
以三角函数系 为基础所做成的函数项级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 称为三角级数,其中a0 ,an ,bn 都是常数.
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx,
9.4傅里叶级数
9.4傅里叶级数简介
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9.4傅里叶级数
三角函数系
函数列 1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, , cos nx, sin nx, 称为三角函数系.
2 是三角函数系中每个函数的周期.因此,只需 在 [- , ] 一个周期上讨论即可.
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9.4傅里叶级数
y
y f ( x)
3π
πO
π
3π
5π
x
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9.4傅里叶级数
求傅里叶级数的步骤:
(1)按公式算傅里叶系数a0 , an , bn ; 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n
f ( 0) f ( 0) 2
f ( 0) f ( 0) 0 1 1 2 2 2
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奇偶函数的傅里叶级数
a0 由函数f ( x)生成的傅里叶级数 (an cos nx bn sin nx)的系数分别为 2 n 1 1 an f ( x) cos nxdx, (n 0,1, 2,) b 1 f ( x) sin nxdx, (n 1, 2,) n
以函数f ( x)的傅里叶系数为系数的三角级数 a0 (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 称为函数f ( x)的 傅里叶级数.
一般来说,f ( x)的傅里叶级数未必 收敛, 即使收敛,也未必 收敛到f ( x)
因此, 类似于f ( x)及其泰勒级数的记法 ,我们将f ( x)的傅里叶级数记为 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1
注意2:在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, 经常 只给出函数在(-， ]
或[-， ) 上的解析式, 但应理解为它是定义在整个数轴上以2 为周期的函数.
即在(-， ]以外的部分按函数在(-， ]上的对应关系做周期延拓.
也就是说函数本身不一定是定义在整个数轴上的周期函数, 但我们认为它是 周期函数.
所以有 f ( x)
1 2 sin 3 x sin(2n 1) sin x ... ... , 0 | x | 2 3 2n 1
当x 0时, 傅里叶级数收敛于
当x 时, 傅里叶级数收敛于
f (0 0) f (0 0) 1 0 1 2 2 2
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傅里叶级数的收敛定理
定理 : 若函数f ( x)是R上以2 为周期的在[ , ]逐段光滑的函数,则函数的 1 傅里叶级数在R收敛, 其和函数是 [ f ( x 0) f ( x 0)]. 即x [ , ], 有 2
f ( x 0) f ( x 0) a0 (an cos nx bn sin nx) 2 2 n 1
π
sin mx sin nxdx 0 ( m n),
π
2)任何两个相同的函数的乘积在[ , ]上的积分不等于零, 即

π
π
cos nxdx sin nxdx π,
2 2 π
π

π
π
12dx 2 π
三角函数系具有的上述性质称为三角函数系的正交性,或者说 三角函数系是正交函数系.正交性是三角函数系优越性的源泉.
特别的，f 的导函数f 在[a, b]上连续,称f 在[a, b]上光滑.
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9.4傅里叶级数
从几何图形上讲, 在区间[a, b]上逐段光滑函数, 是由有限个 光滑弧段所组成, 它至多有有限个第一类间断点与角点.例如：
y
y f ( x)
a O
x1
x2
x3
x4
b
x
由逐段光滑的定义可知, 逐段光滑的函数具有如下性质 : (1)f ( x)在[a, b]上可积; (2)在[a, b]上每一点都存在f ( x 0).
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9.4傅里叶级数
函数项级数
幂级数
泰勒级数
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三角级数
傅里叶级数
9.4傅里叶级数
定义 : 若函数 f ( x) 在区间 [a,b] 除有限个第一类间断点外皆连续， 则称函数f ( x)在[a,b]逐段连续.
定义:若函数f ( x)与它的导函数f ( x)都逐段连续, 则称函数f ( x) 在[a,b]逐段光滑.
注： (1Leabharlann 当x是f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x).
即函数f ( x)是R上以2 为周期的在[- , ]的光滑函数，则函数的傅里叶 级数在R上收敛，其和函数是 f ( x).
(2)当x是f ( x)的间断点时,级数收敛于f ( x)在点x 的左、右极限的平均值.
(3)特别地，当x为端点x = 时，级数收敛于