几何证明初步练习题 编辑整理：临朐王老师 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM∥AB，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠

ACB=1800． ○2 作MN∥BC，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．

2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。 4. 已知，如图，AE5. 已知：如图，EF∥AD，∠1 =∠2. 求证：∠AGD＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。 求证：AB与CD必定相交。 8.求证：2是无理数。 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD平分BAC，BD⊥AD于D．AB＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DＥ为ΔBCF的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC中，108Ao，AB＝AC，BD平分ABC．求证：BC＝AB＋CD． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBEo，108ABEDo，36CABCo．∴72DECEDCo，∴CD＝

CE，∴BC＝AB＋CD． 11、如图，ΔABC中，Ｅ是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于Ｍ，作DN⊥ＡC于N．求证：BM＝CN．

CB

ADE

FDA

BCE

C

B

AEDN

M

BDACGF

E分析：连接DB与DC．∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．易证ΔAMD≌ΔAND． ∴有DM＝DN．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴BM＝CN． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD中，Ｅ在BC上，Ｆ在DC上，BE＋DF＝EF． 求证：45EAFo． 分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90o得ABGV．∴GABFAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．

∴ 1452FAEGAEFAGo 13、如图，点E在ΔABC外部，D在边BC上，DE交AC于F．若123， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE． 分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转1所得．则有BADE． ∵12BADE，且12．∴BADE．又∵13． ∴BACDAE．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE． 14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ． 分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90o即可． ∵90FABBAEEADBAEo．∴FBAEDA． 又∵90FBAEDAo，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ． 平移 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 三、平移 15、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝１５．求梯形ABCD的中位线长． 分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEBY．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５． 16、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，Ｅ为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为DCEFY．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长 四、倍长 17、已知，ＡＤ为ABCV的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．

213EDCBA

MABCE

D

F

DB

ACE分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ． 18、如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC． 分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BADCAD．∴ECAD．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ． 19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ． 分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABDCo．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE． ∴CBEBAD．∴60BPQPBAPABPBADBPo． 易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPDo．∴ΔBPF为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ． 中位线 五、中位线、中线： 20、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，Ｅ和Ｆ分别为BD与AC的中点,

求证：1()2EFBCAD． 分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线． ∴ＥＧ∥＝12BC，FG∥＝12AD．∵AD∥BC．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直

线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EFBCAD． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 21、已知，在ABCDY中BDAB

2

1

．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点． 求

证：ＥＦ＝ＥＧ． 分析：连接ＢE．∵BDAB

2

1

，ＡＥ＝OＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．

∴BDEG21．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴ADEF2

1

．∴ＥＦ＝ＥＧ．

22、在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ． 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2BBCE． 分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．

DPCB

A

FEQ

CAD

BEFG

OCDB

AEF

G

ECD

G

AB∵ＤＥ＝ＢＥ．∴BBDEDECBCE． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DECBCE．∴2BBCE． 几何证明初步测验题（1） 一、选择题（每空3 分，共36 分） 1、使两个直角三角形全等的条件是（ ） A、一组锐角对应相等B、两组锐角分别对应相等 C、一组直角边对应相等D、两组直角边分别对应相等 2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C ＝（ ） A．20° B．25° C．30° D．40° 第2题图 第4题图 第6题图 第7题图 3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角 4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( ) A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD+∠1=180° D．∠EOD=75°30’ 5、下列说法中，正确的个数为（ ） ①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点 ②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线 ③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形 ④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（ ） A、50° B、65° C、70° D、75° 7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（ ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ） A. B. 9、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（ ） A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都对 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（ ）． ①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP. A．全部正确; B．仅①和②正确; C．仅②③正确; D．仅①和③正确 11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是 （ ）

①∠1=∠ ② ③∠+∠2=90° ④=3:4:5 ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 12、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ） A．13 B．12 C．23 D．不能确定 二、填空题（每空3 分，共15 分） 13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________ 。 14、请写出 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题： 15、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：___________，使△ABD≌△ACD。 16、对于同一平面内的三条直线、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_____. 17、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论： ① AD=BE；② PQ∥AE；③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． 三、计算、简答题 18、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足． 求证：AD垂直平分EF． 19、如图7，已知A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。 求证：AE=DC，BF=BG；