第三章 导数及其应用
第1讲 导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设y＝x2ex，则y′＝
( )
A．x2ex＋2x B．2xex
C．(2x＋x2)ex D．(x＋x2)ex
解析 y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
答案 C
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于
( )
A．－e B．－1
C．1 D．e

解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋
1
x
，

∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案 B
3．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是
( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析 y′＝cos x＋e
x
，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y

＋1＝0.
答案 C
4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为
( )
A．e B．－e C.1e D．－1e

解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x
＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x
0

＝－1，解得x
0
＝e，故此切线的斜率为1e.

答案 C
5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0
平行，则实数a等于
( )

A．－1 B.12
C．－2 D．2

解析 ∵y′＝
－1－cos x
sin2 x
，∴＝－1.

由条件知1a＝－1，∴a＝－1.
答案 A
二、填空题
6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

解析 因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线

平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝
1
2
.

答案 12
7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)
在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝
________.
解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－
1
3
，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，

∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.
答案 0
8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x
＋1相切，则a＝________.
解析 由y＝x＋ln x，得y′＝1＋
1
x
，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝

y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
答案 8
三、解答题

9．已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，
求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝53，

所以斜率最小的切线过点2，53，
斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－113＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
所以tan α≥－1，所以α∈0，π2∪3π4，π.
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P
0

在第三象限．

(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．

(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P
0

的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处
的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
解析 若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x
1)·f′(x2
)＝－1.

对于A：y′＝cos x，若有cos x
1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2
＝2kπ＋π(k∈

Z)时，结论成立；
对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x
1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1
，
x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x
1
，

x2；
对于D：y′＝3x2，若有3x
21·3x22＝－1，即9x21x2

2＝－1，显然不存在这样的x1
，

x2.
答案 A

12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y
＝x－2的最小距离为
( )

A．1 B.32 C.52 D.2
解析 点P是曲线y＝x
2
－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2
平行时，
点P到直线y＝x－2的距离最小，
直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，
得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－
1
2
(舍去)，

故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，
点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，
∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2.
答案 D
13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析 ∵f(x)＝12x
2
－ax＋ln x，

∴f′(x)＝x－a＋
1
x
(x>0)．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋
1
x
≥2(当且仅当x＝1时取等号)．

答案 [2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)
在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
解 根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.