导数题型归纳
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，
()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432
3()1262
x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
例2：设函数),10(323
1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，
326()(1)3(0)2
t g x x x t x t -=+
-++> （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；
（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2
1121)(23++++=． （Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数)(x f 是),
(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．
例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32
f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；
（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。
子集思想
例6、已知函数232
)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1） 求实数k 的取值范围；
（2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．
例7、已知函数321()22
f x ax x x c =+-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；
（2）若21()2
g x bx x d =
-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。
例8、已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，
求：（1）()f x 的解析式；
（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围。
例9、
例10、已知函数232
13)(x x a x f +=，)0,(≠∈a R a （1）求)(x f 的单调区间；
（2）令()g x ＝
14
x 4＋f （x ）（x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围．
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.
已知定义在R 上的函数32
()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.
2、（根分布与线性规划例子） 已知函数322()3
f x x ax bx c =+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行,求)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程.
3、（根的个数问题）
已知函数32f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f (2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函
数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。
4、（根的个数问题） 已知函数321()1()3f x x ax x a R =--+∈ （1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间；
（2）若12a <，讨论曲线()f x 与215()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数．。