导数题型归纳请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法： 1分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f '(x)0得到两个根；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 ——用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元)；例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D 上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数，(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b解法二：分离变量法：当x 0时，g(x) x 2 mx 3 3 0恒成立，则 g(x) x 2 mx 3 0在区间［0,3］上恒成立解法一：从二次函数的区间最值 g(0) 03 0 g(3) 09 3m 3 0入手：等价于g max (x) f(x)x 4 mx 3 3x 1 2 12 6 2(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数” ，求m 的取值范围;4x 解：由函数f(x) 12 2 g (x) x mx 33mx 6 牛得f (x) 2mx 3x 2a 的最大2当 Ox 3 时，g(x)x 23等价于m -—3x 3 而 h(x) x ( 0xm 2(2) •••当m 2时f (x)在区间 则等价于当m 2时g(x):解法三：变更主元法2再等价于F(m) mx x2x mx 30恒成立3的最大值(0x3 )恒成立,x3 )是增函数，贝y h max (X ) h(3)I a,b 上都为“凸函数” 2xmx 3 0恒成立2恒成立 例2 :设函数f(x)F( F(2)b2) 13x 2ax3(I)求函数f (x )的单调区间和极值; 3a 2x b(0(n)若对任意的 x [a 1, a(二次函数区间最值的例子)(视为关于 22x x 3 2x x 231,b R)m 的一次函数最值问题)2],不等式f (x)a 恒成立，求a 的取值范围.x 3a x a解: (I) f (x) 令 f (X )0,得f (x)的单调递减区间为x 2 4ax 3a 2当x= 3a 时, f(x) 极大值 =b.x=a 时，f (x) 极小值=—a 3 4b；由| f (x) a ,得：对任意的[a 1,a 2],x 24ax23a a 恒成立①g max (x) a则等价于g(x)这个二次函数amaxg min (x) ag(x) x24ax 3a 的对称轴x 2ag(x) x 2 4ax 3a 2在[a 1,a 2]上是增函数.g(x)max g(a 2) 2a 1. g(x)min g(a 1)4a 4.于是，对任意x [a 1,a2]，不等式①恒成立，等价于g(a 2) 4a 4 a，解得a 1.g(a 1) 2a 1 a 5又 0 a 1,二一a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型例3 ；已知函数f (x) x 3 ax 2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为 3 ,3t 62g(x) x 3x 2 (t 1)x 3 (t 0)2(［)求a,b 的值；(n)当x ［ 1,4］时，求f (x)的值域；(川)当x ［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围。
又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16• f(x)的值域是[4,16]思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x 2 2x) 2x 6分离变量 思路2 :二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1 :转化为f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立， 回归基础题型解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b )”，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集1 3 ^a 1 2Q0 a 1, a 1 a a 2a (放缩法)解：(I)f /(x)3x 22ax•••f /(1) 3b 1 a解得a(n)由(i)知, f (x)在［1,0］上单调递增，在 ［0, 2］上单调递减，在［2, 4］上单调递增 g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
(川)令 h(x) f(x) g(x)-x 2 (t 1)x 3 x [1,4] 2即定义域在对称轴的右边,例 4 :已知a R，函数f(x) x x (4a 1)x .12 2(I)如果函数g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值；(n)如果函数f (x)是(，)上的单调函数，求a的取值范围.1 2解：f (x) x2 3 (a 1)x (4a 1).41 3 1 2(I)T f (x)是偶函数，a 1. 此时f(x) x 3x, f (x) x 3, 12 4令f (x) 0 ,解得：x 2 3.列表如下:可知：f(x)的极大值为f( 2 3) 4、3 , f (x)的极小值为f (2. 3) 4、3.(n)：函数f (x)是(，)上的单调函数，•- f (x)〔X2 (a 1)x (4a 1) 0 ,在给定区间R上恒成立判别式法 42 1 2贝U (a 1)2 4 (4a 1) a2 2a 0, 解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是{a0 a 2}.2 3 1 2例5、已知函数f(x) —x3 -(2 a)x2 (1 a)x(a 0).4 2(I)求f(x)的单调区间；(II )若f (x)在［0, 1］上单调递增，求a的取值范围。
子集思想(I) f (x) x2(2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).1、当a 0时，f (x) (x 1)20恒成立，当且仅当x 1时取“=”号，f (x)在(，)单调递增。
2、当a 0时，由f (x) 0,得x i 1,x2 a 1,且x1x2,单调增区间：(，1),(a 1,)单调减区间：(1,a 1)(II )当Q f(x)在［0,1］上单调递增,贝U 0,1是上述增区间的子)单调递增符合题意2、0,1 a 1, ，a 1 0综上，a的取值范围是［0，1］。
三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“ 穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组) ；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式(组)即可；例6、已知函数f (x) 1 x3 (k »x2，g(x) - kx，且f (x)在区间(2,)上为增函数.3 2 3(1) 求实数k的取值范围；2) 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解: (1)由题意f (x) x2 (k 1)x •/ f(x)在区间(2,)上为增函数，二f (x) x2 (k 1)x 0在区间(2,)上恒成立(分离变量法)即k 1 x恒成立，又x 2 ,••• k 1 2，故k 1 ••• k的取值范围为k 1，、沁x3 (k 1) 2 1(2)设h(x) f (x) g(x) x kx3 2 3h (x) x2(k 1)x k (x k)(x 1)令h (x) 0得x k或x 1由(1)知k 1 ,①当k 1时，h (x) (x 1)20 , h(x)在R上递增，显然不合题意…②当k 1时，h(x) , h (x)随x的变化情况如下表：x (,k) k (k,1) 1 (1,)h(x) 0 一r 0h(x) /极大值k! ki 16 2 3 极小值k 12/k 1由于k一1 0,欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x) 0有三个不同的实根,1、a 0 时，f (x)在(2k3k2 1 2k 1 l 故需k k 10,即(k 1)(k2 2k 2) 0 °，解得k 1 .. 36 2 3 k22k 2 0综上，所求k的取值范围为k 1 ..、3根的个数知道，部分根可求或已知。
3 1 2例7、已知函数f (x) ax x 2x c2(1)若x 1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f (x)的极值；1 2(2)若g(x) bx2 x d，在(1)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)的图像与函数f (x)的2图像恒有含x 1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。
高解:(1)V f(x)的图像过原点，则f(0) 0 c 0 2f (x) 3ax x 2,又•••x 1是f (x)的极值点，则 f ( 1) 3a 1 2 0 a 1f (x) 3x2x 2 (3x 2)(x 1) 0\\f衣) 3 2 22\ / \f极大值(x) f ( 1) 2 f极小值(x) f ()3 7-12(2)设函数g(x)的图像与函数 f (x)的图像恒存在含x 1的三个不同交点，等价于f (x) g(x)有含x 1的三个根，即：f( 1) g(11) d (b 1)23 1 2 1 2 1x x 2x bx x (b 1)整理得：2 2 23 1 2 1即：x3-(b 1)x2x -(b 1) 0恒有含x 1的三个不等实根2 21 1(计算难点来了：)h(x) x3-(b 1)x2 x -(b 1) 0有含x 1的根,2 2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0，故用添项配凑法因式分解，x3 x2 x22(b 1)x2 x 1 (b 1) 02 2x2(x 1) 1 2 1 (b 1)x x (b2 2 1) 0x2(x 1) 1 2-(b 1)x 2x (b21)1-(b 1)x (b 1) x 2 1 0十字相乘法分解：x2(x 1)(x 1) X 2-(b 1)x -(b 1)2 23 1x (b21)x 2 x 1(b 1) 等价于x 21 尹1)x 2(b1) 0恒有含x 1的三个不等实根 0有两个不等于-1的不等实根。