当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的 符号变化次数；
若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可 利用辅助方程求出；
若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不
稳定根的个数。
W
8
例5.3 s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
S5 1
2
1
S4 2
4
s 1 112 .7
s 0 50
辅助多项式： P(s)2s44s8250
求p(s)对s 的导数:
dP(s) 8s3 96s ds
导数方程的系数代入s3 行W 。
12
例5.6
s5 1 s4 2
24 25 48 50
部说号行
的 根
明 系
变
列 式
s 3 0 ( 8 ) 0 ( 96 ) s 2 24 50
系统稳定的充分必要条件是系统特征根 （极点）全部具有负实部。
解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据
W
3
5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据
已知系统的特征方程式为：
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根 的个数。
解：（2）令ss'1, 代入闭环特征方程：
( s ' 1 ) 3 7 ( s ' 1 ) 2 1 ( s ' 7 1 ) K 0 ,
s'3 4s'2 6s' 1 1 K0
s '3
劳斯行列式： s '2
s '1
s '0
1
4 35 K
4 K 11
6 K 11
0
0
令3K51K100 ,
则有11<K<35。
辅助方程是系统特征方程的一个因子式。
W
13
5.1.3 劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性 2、分析系统参数对系统稳定性的影响
W
14
例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该
系统稳定的K值范围。
R(s)
K
Y(s)
解：系统的闭环传递函数为： ﹣ s(s2 s1)(s2)
Y R((ss))s(s2s1K )(s2)K
方程解为：
s1,20.821 8.4527s32-j1.8423
s4,5-0.W907 13 .3690j
10
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反；
l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 dP ( s ) 的系数代替零行，继续 ds 劳斯行列式的计算；
l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。
W
11
例5.5
试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： s 5 2 s 4 2 s 3 4 4 s 2 8 2 s 5 0 0
解：
s 5 1 24 25
s 4 2 48 50
计算劳斯行列式
s 3 08 906 s 2 24 50
解：计算劳斯行列式如下：
s5
1
3 10
s4
2
6 15
s 3 0 5/2
s2
6 5
15
s1
30 2530 2
12 10
s0
15
ε→0 首列整理为:
符号改变一次 →
符号改变一次 →
s5 1 s4 2 s3 s2 5 / s 1 25 / 10 s 0 15
系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。
其闭环特征方程为： s 4 3 s3 3 s2 2 s K 0
劳斯行列式为： s 4
s3 s2 s1 s0
1
3 K 解题思路：
3
2 0 1、列出闭环传递函数
7/3 K
2、写出闭环特征方程式
2(9/ 7)K
3、利用劳斯行列式判断
K
为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足:
279K0,
即K
14 9
因此，保证系统稳定的KW值范围是 0K1/49。 15
c4 d4
c1
b1an3 an1b2 b1
,c2
b1an5 an1b3 b1
c3
b1an7an1b4, b1
d1
c1b2 b1c2 c1
,
d2
c1b3b1c3 c1
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在
系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中
第一列的系数全为正号。 W
5
例5.1 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
1
17Βιβλιοθήκη s27K劳斯行列式： s 1 119 K 0
7
s0
K
0
令119K 0, 7
则K=119。
由为零的上一行组成辅助方程：
P(s)7s2K 119 0
可求出：
s2 1,7 s1j,7 W
n1。 7 （振荡频17 率）
？ G闭s37s2K 17 sK
(2) 若要求闭环极点全部位于s = -1 垂线的左侧，求K的取值范围。
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
➢ 系统（运动）稳定性概念 (Stability)
❖ 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
➢ 静态误差计算 (Static Error)
❖ 有关定义和计算
➢ 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
❖ 各类性能指标定义和二阶系统运动分析
W
4
劳斯行列式：
sn an an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
sn3 c1
c2
c3
sn4 d1
d2
d3
s0
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
a n6 a n7 b4
bb13aann11aann aa26nn 11aannaann37b,2, an1ana4n1anan5
Y(s)
2s1
R(s)s47s31s822s110
解：它的特征方程式是：s 4 7 s 3 1s 2 8 2s 1 1 0 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件，
劳斯行列式：
s 4 1 18 10 s 3 7 21 0
s2 105 7
10
0
s1 1715 105
00
s 0 10 0
劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。
，统化第 系有 一 统一一列
s 1 112 .7 0 s 0 50
不 稳
个 正
次
系 数
定实，符
。
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
P(s)2s44s8250 (s22)5s(21)0
s 1 , s 5j
原 ( s 方 1 ) s ( 1 ) s ( 程 j 5 ) s ( j 5 ) s ( 2 )
当11<K<35时，所有闭环W极点落在s=-1垂线左侧。18
例5.8
已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 K
G0(s)s(s2 7s17)
(1) 确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求
振荡频率。 (2) 若要求闭环极点全部位于s = -[1s垂’] 线的左[侧s]，求
K的取值范围。
分析：
-1 0
(1) 若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。
系统的振荡频率就是此根的虚部值。
W
1
5.1 控制系统的稳定性分析
控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的 稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞ 时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。
W
2
5.1.1 系统稳定性的概念及条件
一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下， 其输出也是有界的。
符号改变一次 →
s2 s1
1 6
5 0
0 0
符号改变一次 → s 0 5 0
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，
系统不稳定。 系统的4个根为：
s 1 ,2 1 .2 0 9 .8j,7 s 3 ,4 2 .9 1 .4j2
W
7
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式 的计算；
实际上该系统的4个根为： s 1 1 .9 , 4 s 2 2 . W7 , s 6 3 ,4 1 .1 0 . 5 7 j6 3
例5.2 若一系统的特征方程为：
s4 2 s3 3 s2 4 s 5 0
利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。
解：列写劳斯行列式： s 4 1 3 5
s3 2 4 0
1
1
S3 0
2
0
S2 4 1 1
1
0
S1 1
0
0
2
S0 0
0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=W[1 2 2 4 1 1];roots(c)) 9
例5.4 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s 5 2 s 4 3 s 3 6 s 2 1 s 0 1 0 5
(2) 只要把虚部向左平移1，构成新的s’ 复平面: ss'1