第五讲 罗尔定理的应用
一、利用罗尔定理、费马定理、零点定理证明方程的根 例1 设01,,,n a a a "为，为满足1200231
n a a a
a n +
+++=+"的实数，证明方程 20120n n a a x a x a x ++++="
在(0,1)内至少有一个实根。

例2 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0b a >>，证明方程
222[()()]()()x f b f a b a f x ′−=−
在(,)a b 内至少存在一个实根。

例3 设,,a b c 为实数，求证方程2x ax bx c e ++=至多有三个实根。

例 4 证明方程2210x x −−=有且仅有三个不同的实根。

二、利用罗尔定理证明含有“中值点”的等式
例5 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点
(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ′+=
例6 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=
例7设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()0f f g ξξξ′′+=
例8设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()f g f g ξξξξ′′=
例9设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(0)0f =，而当(0,1)x ∈时，()0f x ≠，证明：对任意正整数n ，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得
()(1)
()(1)
nf f f f ξξξξ′′−=− 例10 设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()()0f a f b ⋅>，()02a b f a f +⎛⎞
⋅<⎜⎟⎝⎠
，
证明：对任意的λ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()f f ξλξ′=
例11设()f x 在[0,1]上可导，(1)2(0)f f =，证明：存在(0,1)c ∈，使得
(1)()()c f c f c ′+=
例12 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)0f ′=，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使得
2()(1)()0f f ξξξ′′′−−=
例13 设()f x 在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在一点(0,1)ξ∈，使
得1()1()f f ξξξ⎛⎞′=−⎜⎟⎝⎠
例14设()f x 、()g x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，且()0g x ′≠，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得
()()()
()()()
f a f f
g g b g ξξξξ′−=′−
注：类似的题目举不胜举。

通过练习，重要的是体会如何构造辅助函数，初步掌握其技巧。

例1的提示：令231120()231
n n a a a
f x a x x x x n +=+
++++" 例2的提示：令2
2
2
()[()()]()()F x f b f a x b a f x =−−−
例3的提示：（反证）假设方程2()0x
f x ax bx c e =++−=有四个实根，则()0f x ′=，
()0f x ′′=分别有三个和两个实根，但()20x f x a e ′′=−=至多一个实根。

例4的证明：设2
()21x f x x =−−，显然(0)(1)0f f ==，即0,1x x ==为方程的两个
根。

又易知(3)0f <、(5)0f >，则由零点定理，方程在(3,5)内至少有一个根ξ。

假设方程还有根1ξ，不妨设1ξξ>，则()f x 在[0,1]、[1,]ξ、1[,]ξξ上都满足罗尔定理，可得
123()()()0f f f ηηη′′′===
又()2ln 22x
f x x ′=−在12[,]ηη、23[,]ηη上满足罗尔定理，可得
12()()f x f x ′′′′=
即2
()2ln 220x
f x ′′=−=有两个实根，这是不可能的。

例5的提示：令()()x
F x e f x =
例6的提示：令()()x
F x e f x λ−= 例7的提示：令()
()()g x F x e f x =
例8的提示：令()
()()
f x F x
g x =
例9的提示：令()()(1)n
F x f x f x =− 例10的提示：令()()x
F x e f x λ−=
例11的提示：令()
()1
f x F x x =
+ 例12的提示：令1
1()()x F x e f x −′=，并补充定义(1)0F = 例13的提示：令()()x
F x xe f x −=
例14的提示：令
()[()()][()()]F x f a f x g x g b =−−，或 ()()()()()()()F x f a g x f x g x f x g b =−+。