பைடு நூலகம்
q q
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜 像电荷 q"必须位于球心。事实上，由于导体球 不接地，因此，其电位不等零。由q 及q'在球面 边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个 镜像电荷q"以提供一定的电位。
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（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d - l f r
l
a
o
q
r
f
P
r q
d
a q q f
镜像电荷离球心的距离d 应为
a d f
2
这样，根据 q 及 q' 即可计算球外空间任一 点的电场强度。
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若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导体球 表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感 应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为 零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述 的镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守恒原理，必须 再引入一个镜像电荷q"，且必须令
dWe i dqi i Qid
i 1 i 1
n
n
当各个带电体的电量同时分别增至最终值 Q1 , Q2 ,, Qn 时，该系统的总电场能为
We dWe i Qi d
1 i 1 0
n
求得
1 We i Qi i 1 2
3
n
当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或 线分布电荷时，由 dq dV sdS l dl ，求 得这种分布电荷的带电体总能量为 1 1 1 We dV S dS l dl V 2 S 2 l2 式中 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在 处的电位，积分区域为电荷分布的空间。
五. 电场能量
已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方 向发生运动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外 作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。如 果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外 力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为静电场的能量 储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，根据 电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可 以计算静电场能量。
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但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界 条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法 向分量应该相等，即
E2t E1t E1t
D2 n D1n D1n
已知各个点电荷产生的电场强度分别为 q q q E1 e E1 e E e 2 r 2 r 2 r 2 4π 1 (r ) 4π 1r 4π ( r )
（3）已知电量为 Q 的导体球外的电场强度 2 Q Q 为E ，那 2 ，能量密度为 we 2 4 4 π r 32π r 么沿球外整个空间积分求得
We d d
0 0 2π π a 2 Q we r 2 sin dr 8π a
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六. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将 原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空 间，从而使计算过程大为简化。 依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维 持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场 没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。 这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷， 而这种方法称为镜像法。 关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布 的电荷才有可能确定其镜像电荷。

1 由此可见，静电场的能量密度 we D E 2
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对于各向同性的线性介质， D E ，代入后得
1 we E 2 2
此式表明，静电场能量与电场强度平方成正 比。因此，能量不符合叠加原理。虽然几个带 电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分 别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量 并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能 量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引 入系统中时，外力必须反抗第一个带电体对第 二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变 为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带 电体单独存在时具有的能量称为固有能。
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例 计算半径为 a ，电量为 Q 的导体球具有的能 量。导体周围介质的介电常数为 。
解 :三种解法 （1）已知半径为a，电量为 Q 的导体球的电位为
Q 4 π a
1 Q2 那么求得 We Q 2 8π a
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（2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得
1 Q Q2 We S dS S 2 4 π a 8π a
r
f
a
a d f
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（4）点电荷与无限大的介质平面。
q
q et
en
1 2
=
1 1
q'
r0
En
E'
q"
r0
En
E t Et
E
+
2 2
r0
E t
E"
En
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q‘ 等 效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为 介电常数为1 的均匀空间。 对于下半空间，可用位于原点电荷处的q" 等 效原来的点电荷q 与边界上束缚电荷的共同 作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀 空间。
We (q) dq
0
Q
已知孤立导体的电位 等于携带的电量 q 与电容 C 的之比， 即 代入上式，求得电量为Q 的孤立带电体 具有的能量为 或者表示为
1 We Q , 2
q C
1 Q2 We 2 C
Q C
2
n个带电体具有的总能量计算。设每个带电体的电量均从零开始， 且以同样的比例 ( < 1)增长。若周围媒质是线性的，则当各 个带电体的电量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。 设第 i 个带电体的电位最终值为 i，电量的最终值为 Qi，若某 一时刻第 i 个带电体的电量为 qi = Qi，则此时刻该带电体的电 位为 i =i , 带电系统的电场储能增量为
3


/3

q
/3
q


连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时， 根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。
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（2）点电荷与导体球。
P
a o d
q
r
f
r q
若导体球接地，导体球的电 位为零。为了等效导体球边界 的影响，令镜像点电荷q' 位于 球心与点电荷 q 的连线上。那 么，球面上任一点电位为
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（1）点电荷与无限大的导体平面。
r P r P
q
介质
导体
q h
h q
r
介质 介质
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使 整个空间变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任 一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 4 π r 4 π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
q q 4π r 4π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择 镜像电荷为
r q q r
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为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须 要求比值 r r 对于球面上任一点均具有同一数 值。由图可见，若要求三角形 △OPq 与 a r △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像 r f 电荷应为
首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立带电体的能量。
1
设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开 始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二 个dq 移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ， 则外力必须作的功为 dq ，因此，电场能量的增量为 dq 。 已知带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，当电量增 至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具 有的能量为
en
2
1 1 We S dS S dS S1 2 S2 2 又知 s D en D en
1 1 求得 We D dS D dS S 1 2 2 S2
若在无限远处再作一个无限大的球面 S，由于电荷分布在有 限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分
q q
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电场线与等位面的分布特性与第二章所述的 电偶极子的上半部分完全相同。
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而 零电位面与导体表面吻合。
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电荷守恒：上述镜像法的实质是以一个异性的 镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作 用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该 等于这些感应电荷的总电量

S
D dS 0
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那么，上面的储能公式可写为
1 1 1 1 We D dS D dS D dS S D dS 2 2 S1 2 S2 2 S
式中 S S1 S 2 S 。该闭合面 S 包围了静电场所占 据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写
2
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
1 2 q q 1 2
2 2 q q 1 2
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小结
• 掌握静电场能量计算 • 理解镜像法原理 • 掌握几类基本的镜像法问题 • 作业: 26
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半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上 半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件 未变。
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对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用 镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整 数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这 种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 例如，夹角为 π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。