2-2 已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0( ,4 )1,0,1( ,1 )1,0,0( ,1332211P C q P C q P C q === 试求位于)0,1,0(-P 点的电场强度。

解 令321,,r r r 分别为三个电电荷的位置321,,P P P 到P 点的距离，则21=r ，32=r ，23=r 。

利用点电荷的场强公式r e E 204rq πε=，其中r e 为点电荷q 指向场点P 的单位矢量。

那么，1q 在P 点的场强大小为021011814πεπε==r q E ，方向为()z yr e ee +-=211。

2q 在P 点的场强大小为0220221214πεπε==r q E ，方向为()z y xr e e ee ++-=312。

3q 在P 点的场强大小为023033414πεπε==r q E ，方向为y r e e -=3则P 点的合成电场强度为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++=z e e e E E E E y x 312128141312128131211 0321πε2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为6102-⨯C ，相距为2cm ， 如习题图2-4所示。

试求：①P 点的电位；②将电量为6102-⨯C 的点电荷由无限远处缓慢地移至P 点时，外力必须作的功。

解 根据叠加原理，P 点的合成电位为()V 105.24260⨯=⨯=rq πεϕ因此，将电量为C 1026-⨯的点电荷由无限远处缓慢地移到P 点，外力必须做的功为()J 5==q W ϕ2-6 已知分布在半径为a 的半圆周上的电荷线密度πφφρρ≤≤=0 ,sin 0l ，试求圆心处的电场强度。

解 建立直角坐标，令线电荷位于xy 平面，且以y 轴为对称，如习题图2-6所示。

那么，点电荷l l d ρ在圆心处产生的电场强度具有两个分量E x 和E y 。

由于电荷分布以y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的y E 分量，即习题图2-4习题图2-6φπερsin 4d d d 20a lE E l y ==考虑到φρρφsin ,d d 0==l a l ，代入上式求得合成电场强度为y y aa e e E 0002008d sin 4ερφφπερπ==⎰2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=a r aqr a r r q, ,2r e E 试求球内外各点的电位。

解 在a r <区域中，电位为()()aqr a a q r aa rr+-=⋅+⋅=⋅=⎰⎰⎰∞∞222d d d r E r E r E ϕ 在a r >区域中，()rq r r=⋅=⎰∞r E d ϕ2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=a r ra a r r, ,253r e E试求空间的电荷密度。

解 利用高斯定理的微分形式0ερ=⋅∇E ，得知在球坐标系中 ()()r E r rr r 220d d 1εερ=⋅∇=E 那么，在a r ≤区域中电荷密度为()()20525d d 1r r rr r εερ== 在a r ≥区域中电荷密度为()()0d d 152==a rr r ερ 2-17 若在一个电荷密度为ρ，半径为a 的均匀带电球中，存在一个半径为b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d ，试求空腔中的电场强度。

解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。

首先设半径为a 的整个球内充满电荷密度为ρ的电荷，则球内P 点的电场强度为r e E r P 032013 3441ερρππε==r r 式中r 是由球心o 点指向P 点的位置矢量，再设半径为b 的球腔内充满电荷密度为ρ-的电荷，则其在球内P 点的电场强度为r e E rP '-='''-=0320233441ερρππεr r 式中r '是由腔心o '点指向P 点的位置矢量。

那么，合成电场强度P P E E 21+即是原先空腔内任一点的电场强度，即()d r r E E E P P P 002133ερερ='-=+= 式中d 是由球心o 点指向腔心o '点的位置矢量。

可见，空腔内的电场是均匀的。

2-19 已知内半径为a ，外半径为b 的均匀介质球壳的介电常数为ε，若在球心放置一个电量为q 的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。

解 先求各区域中的电场强度。

根据介质中高斯定理习题图2-17re D s D 2244d rqq D r q sππ=⇒=⇒=⋅⎰ 在a r ≤<0区域中，电场强度为r e DE 2004rq πεε==在b r a ≤<区域中，电场强度为re DE 24rqπεε==在b r >区域中，电场强度为r e DE 2004r q πεε==再求介质壳内外表面上的束缚电荷。

由于()E P 0εε-=，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为()2020414a qa q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=⋅-=⋅=P e P n r外表面上束缚电荷面密度为()2020414b qb q s πεεπεεερ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⋅=⋅=P e P n r 2-20 将一块无限大的厚度为d 的介质板放在均匀电场E 中，周围媒质为真空。

已知介质板的介电常数为ε，均匀电场E 的方向与介质板法线的夹角为1θ，如习题图2-20所示。

当介质板中的电场线方向42πθ=时，试求角度1θ及介质表面的束缚电荷面密度。

习题图2-20e n解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。

因此可得221sin sin θθE E =； 221cos cos θθD D =已知220 ,E D E D εε==，那么由上式求得⎪⎭⎫⎝⎛=⇒==⇒=εεθεεθεεθεεθθ010201021arctan tan tan tan tan已知介质表面的束缚电荷)(0E D e P e ερ-⋅=⋅='n n s， 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为10021020211cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛--=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n1介质右表面上束缚电荷面密度为100220202222cos 111θεεεεεεερE n s⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅='D e D e P e n n 2-21 已知两个导体球的半径分别为6cm 及12cm ，电量均为6103-⨯C ，相距很远。

若以导线相连后，试求：①电荷移动的方向及电量；②两球最终的电位及电量。

解 设两球相距为d ，考虑到d >> a , d >> b ，两个带电球的电位为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d q a q 210141πεϕ；⎪⎭⎫⎝⎛+=d q b q 120241πεϕ 两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即21ϕϕ=及()C 106621-⨯==+q q q ，求得两球最终的电量分别为()()C 10231261-⨯=≈-+-=q q ab bd ad b d a q()()C 10432262-⨯=≈-+-=q q ab bd ad a d b q可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为()C 1016-⨯。

两球最终电位分别为()V 103415101⨯=≈a q πεϕ()V 103415202⨯=≈b q πεϕ3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。

已知线电荷密度)C/m (10=l ρ，离开平面的高度5=h m ，空间媒质的相对介电常数4=r ε。

试求：① 空间任一点场强及能量密度；② 导体表面的电荷密度；③ 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。

解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz 平面，导体上方场强应与变量z 无关。

根据镜像法，上半空间中任一点),(y x P 的场强为⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--+-+⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++--+-+=-+=y xy x y x e e e e e e r r E 222222222222222211)()()()( )()(2 )()()()(222h y x h y h y x h y h y x xh y x x h y x h y x h y x h y x r r rlr l r l r l περπερπερπερ电场能量密度为222222222222444222])([])([)222(221h y x h y x h y y x h x h y x h E w r l r ++-+-++++==περε 已知导体表面的电荷面密度0==y s nD ρ，那么)m /C ()(22200h x hl y yr y s +-=====πρερE D n 单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用导体习题图3-4x力，即y e F 22)2(2h r lπερ-= 可见，线电荷受到的是吸引力。

所以，当线电荷的高度h 增加一倍时，外力必须做的功为11222221081.216d )2(2d )(⨯===⋅-=⎰⎰h y y W r l hhr l h hπερπερl F （J ）。

3-10 试证位于半径为a 的导体球外的点电荷q 受到的电场力大小为222302232)(4)2(a f f a f a q F ---=πε 式中f 为点电荷至球心的距离。

若将该球接地后，再计算点电荷q 的受力。

证明 根据镜像法，必须在球内距球心fa d 2=处引入的镜像电荷q faq -='。

由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个镜像电荷-q '，且应位于球心，以保持球面为等电位。

那么，点电荷q 受到的力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即，rr e e F 22202201)(4)(4a f afq d f q q --=-'=πεπε（N ） r r e e F 30220244f aq f q q πεπε='-=（N ）合力为 re F F F 22230223221)(4)2(a f f a f a q ---=+=πε（N ） 当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q '，故q 所受到的电场力为F 1。

3-11 在半径为a 的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l 的线电荷，如习题图3-11(a)所示。