第2章习题解答2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0Va ρρρρ=，()0a ρ≤≤。

试求总电量Q 。

解：2π200002d d d d π3laV VQ V z la aρρρρρϕρ===⎰⎰⎰⎰2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。

当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求其表面上的面电流密度。

解：面电荷密度为 204πS QR ρ=面电流密度为 00200sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθρρωθωθ=⋅=== 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ϕ=。

已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试求0S J 。

解：每根导线的体电流密度为 00224π(/2)πI I J d d== 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS IJ Jd d ==因此，等效面电流密度为 04πS IJ e dϕ=2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。

为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。

当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。

由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为12214πq F xε=实验电荷受0q 的排斥力为02214π()q F d x ε=-要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由00222114π4π()q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.0122=+=如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.0122=+=。

只是这时实验电荷与0q 和02q 不是排斥力，而是吸引力。

2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。

解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电场为()()(0002220000111114π4π4π2222182πx yyxxyq q q E e e e e a a q e e εεεε⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭+=+2.9半径为0R 的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为0S ρ，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为0R 的半球内，再求球心处的电场强度。

解：面电荷密度产生的电场强度为()()0301d 4πS S r r E r S r r ρε''-'='-⎰根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着z 方向。

由于20d sin d d S R θθϕ''''=，那么()2ππ/2200d sin d 4π4S S zzE r e e ρρϕθθεε'''=-=-⎰⎰如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为2000330002π32π/32π/3S S R QR R R ρρρ=== 把体电荷密度分成很多薄球壳，根据上述结果，厚度为d r '的球壳产生的电场强度为()0d d 4z E re r ρε'=-那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为()0000003)d 444R S zzz E r e r e R e ρρρεεε'=-=-=-⎰2.14 如题2.14图所示，两个半径分别为a 和b ()b a >的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为0ρ。

两球面的球心相距为d ，且d a >。

试求空腔内的电场。

解：我们把空腔看成是由电荷密度分别为0ρ和0ρ-的体电荷，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为0ρ、半径为b 的大圆球产生的场和电荷密度为0ρ-、半径为a 的小圆球查收的场的叠加。

由高斯定理，大圆球产生的电场为0233b bb b Q E r r r ρεε==- 而小圆球产生的电场为 0233a aa b QE r r r ρεε==- 因此合成场为 000333b a E r r d ρρρεεε=-= 2.22 如题2.22图所示，在半径为a 的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为b 的圆柱形空腔。

两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为d ，且d b >。

当导体通以均匀分布的电流I 时，试求空腔内的H 。

解：假设导体中的电流是z e +方向的。

由于导体的电流密度为()220/π2J I a b =-，所以可以把空腔看成是两个电流密度也为0J 的z e -方向的导体柱。

那么在空腔内磁场可以看成该两个小导体柱和半径为a ，没有空腔的大圆柱导体柱所产生的场的叠加。

利用安培环路定律，可以分别得到大圆柱在两个空腔内产生的磁场以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到左腔内 H H H H =++左右大()()()()()()()()()()()222222222222222222π22π22π22π2x y x y x y x y I Ie y e x e y e x d a b a b I b e y e x d a b x d yx d b I yb e e d a b x d y x d y ⎡⎤=-+--++⎣⎦--⎡⎤--+-⎣⎦--+⎧⎫⎡⎤-⎪⎪=+-⎢⎥⎨⎬--+-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭右腔内 H H H H =++左右大()()()()()()()()()()()222222222222222222π22π22π22π2x y x y x y x y I I b e y e x e y e x d a b a b x d y Ie y e x d a b x d b I yb e e d a b x d y x d y ⎡⎤=-+--++⎣⎦--++⎡⎤--+-⎣⎦-⎧⎫⎡⎤+⎪⎪=+-⎢⎥⎨⎬-++++⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭2.30 已知无源的自由空间内()0cos x E e E t z ωβ=-，其中0E ，β和ω为常数。

试求磁场强度H 和位移电流d J 。

解：由麦克斯韦第二方程可得()000sin 00x y z x y z y xxyz e e e e e e B E e E t z t xy zz E E E E βωβ∂∂∂∂∂-=∇⨯===-∂∂∂∂∂ 于是有()()000001sin d cos ty yE BH e E t z t e t z ββωβωβμμωμ==--=-⎰ 而位移电流()d 000sin x D EJ e E t z t tεωεωβ∂∂===--∂∂ 2.31 已知无源的自由空间内()0πcos sin y xH e H t z aωβ=-，其中0,,H a β和ω为常数。

试求E 和d J 。

解：由于在无源的自由空间0J =，由麦克斯韦第一方程可得000xy z x y zy y x z yxy ze e e e e e H H D H e e t xy z xz z x H H H H ∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯===-+∂∂∂∂∂∂∂∂ ()()00πππcoscos sin sin x z H x xe H t z e t z a a aβωβωβ=--- 于是有 ()()()000000π1ππd cos sin sin cos tx z H H D x xE H t e t z e t z a a aβωβωβεεωεωε==∇⨯=-+-⎰而位移电流 ()()0d 0πππcos cos sin sin x z H D x xJ e H t z e t z t a a aβωβωβ∂==---∂ 2.32 已知介电常数为ε，磁导率为μ的空间内()0cos y x z E e E t k x k z ω=--试求：电荷密度ρ和电流密度J ，0J =的条件是什么？解：由麦克斯韦第四方程可得0D E ρε=∇⋅=∇⋅=而由麦克斯韦第二方程可得()()00000sin sin xy z x y zyxy zy y xzx z x z z x x z e e e e e e B E t xy z xz E E E E E E e e e k E t k x k z e k E t k x k z zxωω∂∂∂∂∂∂-=∇⨯==∂∂∂∂∂∂∂∂=-+=---+--∂∂于是有 ()()()0001d cos cos t z x xx z zx z k E k E B H E t et k x k z e t k x k z ωωμμωμωμ==-∇⨯=---+--⎰而()()22000000sin sin x y z x y z x z y xzx y z z x x x z x z e e e e e e H H H e x y z x z z x H H H H H k E k E e t k x k z t k x k z ωωωμωμ∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫∇⨯===- ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤=---+--⎢⎥⎣⎦代入麦克斯韦第一方程可得()220sin y x y x y k k DJ H e E t k x k y t ωεωωμωμ⎛⎫∂=∇⨯-=---- ⎪ ⎪∂⎝⎭由此可见，0J =的条件是222x y k k ωεμ+=。

2.33 已知无源的自由空间内 ()()12sin 4cos cos4sin x z H e A x t ky e A x t ky ωω=-+- 试求相应的位移电流密度。

解：由于在无源的自由空间0J =，由麦克斯韦第一方程可得00xy z x y z x z zx y z xy z xze e e e e e H H H D H e e e t xy z x y y x yH H H H H ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯===--∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ()()()221cos4cos 4sin 4sin sin 4sin x y z e kA x t ky e A x t ky e kA x t ky ωωω=--+---于是有()()()()00022101d 1cos 4sin 4sin 4cos sin 4cos t x y z DE H te kA x t ky e A x t ky e kA x t ky εεωωωωε==∇⨯⎡⎤=----+-⎣⎦⎰而位移电流()()()d 221cos 4cos 4sin 4sin sin 4sin x y z DJ e kA x t ky e A x t ky e kA x t ky tωωω∂==--+---∂ 2.34 已知半径为0R 的球面内外的电场分别为()()()()0003cos sin 2cos sin r r Ae e r R RE B e e r R r θθθθθθ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩假设球内外的介电常数均为0ε。