证明①式（1-7-11）为 （ 为常数）
令 ， ，则
②式（1-7-12）为
令 ， ，则
若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。
1-14试证 ， 及 。
证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为
对于矢量 ，因 ， ， ，代入上式，且
因r与角度，无关，那么，由上式获知 。
对于矢量 ，因 ， ， ，显然 。
解已知梯度
那么，在点 处的梯度为
因此，标量函数在点 处沿矢量A的方向上的方向导数为
1-6试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。
证明式（1-5-11）为 ，该式左边为
即， 。
根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。
1-7已知标量函数 ，试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。
电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵)(第二版)全套
第一章题解
1-1已知三个矢量分别为 ； ； 。试求① ；②单位矢量 ；③ ；④ ；⑤ 及 ；⑥ 及 。
解①
②
③
④
⑤
因
则
⑥
。
1-2已知 平面内的位置矢量A与X轴的夹角为，位置矢量B与X轴的夹角为，试证
证明由于两矢量位于 平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为
证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为
已知两个矢量的标积为 ，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为
式中
因此，
1-12试求分别满足方程式 及 的函数 及 。
解在球坐标系中，为了满足
即要求 ，求得
即
在球坐标系中，为了满足
由于 ， ，即上式恒为零。故 可以
是r的任意函数。
1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，e，e均为变矢，所以 不是常矢量。
在球坐标系中，矢量A的散度为
将矢量A的各个分量代入，求得 。
矢量A的旋度为
利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
以及 ， ，求得该矢量在直角坐标下的表达式为
利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系
因
，
所以三角形的面积为
1-4已知矢量 ，两点P1及P2的坐标位置分别为 及 。若取P1及P2之间的抛物线 或直线 为积分路径，试求线积分 。
解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为 , ，则
②积分路线为直线。因 , 两点位于 平面内，过 , 两点的直线方程为 ，即 ， ，则
。
1-5设标量 ，矢量 ，试求标量函数在点 处沿矢量A的方向上的方向导数。
解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为
那么
将点P(1,2,3)的坐标代入，得 。那么，在P点的最大变化率为
P点最大变化率方向的方向余弦为
； ；
1-8若标量函数为
试求在 点处的梯度。
解已知梯度 ，将标量函数代入得
再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为
1-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。
求得
即该矢量在球坐标下的表达式为 。
1-21已知圆柱坐标系中的矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求 及 以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，所以 不是常矢量。
已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为
将 代入，得
矢量A的旋度为
求得其在圆柱坐标下的表达式为
。
1-23若标量函数 ， ， ，试求 ， 及 。
解
1-24若
试求 ， 及 。
解① ；
；
；
②
；
（此处利用了习题26中的公式）
因此，该点在直角坐标下的位置为
; ;z= 3
同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，
； ；
可得该点在球坐标下的位置为
； ；
1-20已知直角坐标系中的矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。
解由于 的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。
令上式中的 ，则
将上式整理后，即得
。
1-18已知矢量场F的散度 ，旋度 ，试求该矢量场。
解根据亥姆霍兹定理， ，其中
；
当 时，则 ，即 。那么因 ，求得
则
1-19已知某点在圆柱坐标系中的位置为 ，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。
解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
， ，
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
; ;
;
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
将上述接结果代入，得
即该矢量在直角坐标下的表达式为
，其中 间的转换关系
以及 ， ，求得
即该矢量在球坐标下的表达式为 。
1-22已知圆球坐标系中矢量 ，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求 及 ，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。
证明式（1-6-11）为 ，该式左边为
即
式（1-6-12）为 ，该式左边为
；
即
1-10试求距离 在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。
解在直角坐标系中
在圆柱坐标系中，已知 ， ， ，因此
在球坐标系中，已知 , , ,因此
1-11已知两个位置矢量 及 的终点坐标分别为 及 ，试证 与 之间的夹角为
已知 ，求得
即
1-3已知空间三角形的顶点坐标为 ， 及 。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？
解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为
； ；
那么，由顶点P1指向P2的边矢量为
同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为
因两个边矢量 ，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。
已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为
； ；
求得 ； ；
；
又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
将上述结果代入，求得
即该矢量在圆柱坐标下的表达式为
直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为
； ；
由此求得
； ；
矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为
对于矢量 ，因 ， ， ，同理获知
。
1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：
① ；
② ；
③ 。
证明①证明 。
利用公式 ，则
而
求得 。
②证明 。
利用公式 ，则
再利用①的结果，则
③证明 。
利用公式 ，则
再利用①的结果，则 。
1-16试证 ，式中k为常数。
证明已知在球坐标系中
则
即
1-17试证
证明利用公式