2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
(总分：28.00，做题时间：90分钟)
一、填空题(总题数：6，分数：12.00)
1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.已知x=0．045，y=2．013_____
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)
解析：
3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)
解析：
5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
6.______，该公式的代数精度为_____．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：()
解析：
二、计算题(总题数：2，分数：4.00)
7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-
，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，
因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-
=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：
8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭
代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)
解析：
三、综合题(总题数：6，分数：12.00)
9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=
(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )
解析：
10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=
，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)
解析：
11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)
求I(f)- 形如的截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，
有故该公式有3次代数精度． 2)以H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a)，H"(0)=f"(0)为插值条
件作3次插值多项式H(x)，则有f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2，而=A 0H(-a)+A 1H(0)+A 2H(a)=
,且)
解析：
12.给定常微分方程初值问题取n为整数；x i=a+ih，1≤i≤n．记y i≈y(x i)，1≤i≤n；y 0 =y(a)． 1)求参数α，使求解上述初值问题的数值求解公式y i +1=y i +h[αf(x i，y i )+(1-α)f(x i+1，y i+1 )]局部截断误差阶达到最高； 2)应用Euler公式与1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)局部截断误差R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h[αf(x i，y(x i ))+(1-α)f(x i+1，
y(x i+1 ))]=y(x i )+hy"(x i )+ y"(x i y""(x i )+O(h 4 )-y(x i )[*)
解析：
13.对于定解问题取正整数M，N，令x i=ih,i=0,1,…,M; t k=kt,k=0,1,…,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取应用1)中构造的求解公式
计算以及的近似值
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)在节点(x i，t k )处考虑微分方程由Taylor展开得x i-1＜ξi ＜x i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令u i k≈u(x i，t k)得2)取
要求的即为第一层的近似值．由差分格式整理得(1+2γ-τ)u i k)
解析：
14.已知A，B∈R n×n，其中A非奇异，B为奇异矩阵，试证明
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因B是奇异阵，A非奇异，则A -1B奇异，故必存在x∈R n且x≠0使A -1Bx=0．因此(I-A -1B)x=x．两边取范数得‖x‖=‖(I—A -1B)x‖≤‖(I—A -1B)‖．‖x‖．因为‖x‖≠0，所以‖I-A -1B)‖≥1，从而有1≤‖I—A -1B)‖=‖A -1 (A—B)‖≤‖(A—B)‖.‖A -)
解析：。