第四章 地球的正常重力场重力测量结果表明，地球在其表面上的重力分布是有规律的；总的说来，它由赤道向两极逐渐增加，由赤道上的978Gal 逐渐增加到两极的983Gal 。
在大地测量中，参数合适的旋转椭球是地面点坐标的参考架，当参考椭球选定后，大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m ，起伏只占参考椭球赤道半径的2×10-6。
因而自然想到，用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球，用这种地球模型（正常场地球模型），在其表面上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场。
当正常场地球模型在地球内部定位后，地球的重力场可以分解为两部分，一部分是正常场地球模型在该点产生的重力场，第二部分为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场；前者称为地球在该点产生的正常重力场，后者称为地球在该点产生的重力异常场。
重力测量结果表明，当正常场地球模型选择合适后，大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal ，约占地球正常重力场的1×10-4~2×10-4。
地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二，但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息，因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目的之一。
根据第三章的结果，本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数张量以及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数。
4.1 旋转椭球的几何参数引入笛卡尔直角坐标系123Ox x x ，坐标原点O 置于旋转椭球的中心，3Ox 沿其极半径，12Ox x 在其赤道平面内，则旋转椭球面的方程为其子午椭圆的方程为其中a 、c 分别为旋转椭球的赤道半径和极半径，它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数。
考虑到参考椭球的赤道半径a 和极半径c 相差很小，其扁率 约为3×10-3量级，因而参考椭球的子午椭圆与圆非常接近，为了讨论问题方便，对子午椭圆常引入下面几个几何参数：子午椭圆的扁率α、第一偏心率e、第二偏心率'e有下述关系如图4.1.1所示，OA与Ox轴之间的角度0ϕ为A点的地心纬度，A点子午椭圆的法线与Ox轴之间的角度B称为A点的大地纬度，因为子午椭圆与圆非常接近，A点的地心纬度和大地纬度相差很小，其差约为子午椭圆扁率的量级。
在图4.1.1中，有根据（4.1.2）式，有因而有将上式代入（4.1.5）式，得大地纬度和地心纬度相差很小，根据（3.2-1.6）式可以求出它们之间的相互换算关系，与（4.1.6）式相对应的（3.2-1.6）式中的p 、q 分别为因而有考虑到子午椭圆的扁率α约为为3×10-3量级，有时将子午椭圆的方程写成极坐标的方式比较方便。
将（4.1.6）式代入（4.1.2）式，把子午椭圆的直角坐标方程（4.1.2）写成极坐标的形式，考虑到(1)c a α=-，有因为将（4.1.11）式代入（4.1.10）式，化简，舍去高于3α的项，即舍去小于30×10-9的项，得在（4.1.12）式中用大地纬度代替地心纬度，根据（4.1.9）式，舍去含高于3α的项，即舍去小于30×10-9的项，有参考椭球面上大地纬度为B 的子午椭圆的曲率半径M 和卯酉圈的曲率半径N 的数学表达式分别为4.2 索米格兰纳（Somigliana ）正常重力公式正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量是正常重力位在此表面上的梯度，考虑到旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面，因而正常场地球模型在其表面上产生的重力矢量应垂直于旋转椭球面，亦即其中u e 、u h 分别为坐标u 的单位坐标基矢量和它的拉梅系数，根据（3.2.9）式，旋转椭球面上u c =上的拉梅系数为其中τθ、τϕ分别为改化余纬和改化纬度。
习惯上正常重力矢量的方向约定为u -e ，即约定它指向旋转椭球内部为正，则参考椭球在其表面上产生的正常重力等于正常重力矢量在u -e 方向上的投影，即（4.2.3）式称为正常重力公式。
在旋转椭球体的重力位表达式（3.3.25）式中用改化纬度代替改化余纬，考虑到2(sin )P τϕ为sin τϕ的二阶勒让德多项式，可以把（3.3.25）式写成根据（3.3.25）式，有将（4.2.2）、（4.2.4）式代入（4.2.3）式，得用e γ、p γ分别表示赤道上和两级的正常重力，根据（4.2.6）式，有将（4.2.7）式代入（4.2.6）式，得根据（3.2-1.3）式、（4.1.7）式，可以求出大地纬度B 和改化纬度τϕ之间的关系，它们是将（4.2.9）式代入（4.2.8）式，化简得到以带地纬度B 为变量的正常重力公式，它为（4.2.10）式是意大利人索米格兰纳于1929年导出的，它称为索米格兰纳正常重力公式。
4.3展成级数形式的正常重力公式，克雷诺（Clairaut ）定理斯托克斯定理表明，正常场地球模型的赤道半径a 、扁率α、总质量M 和旋转角速度ω唯一地决定了旋转椭球在其表面上和外部空间产生的重力场。
正常重力公式（4.2.10）式给出了以大地纬度为变量、以赤道上和两极重力为参数的正常场地球模型在其表面上的重力分布；因而赤道上和两极的正常重力应决定于它的总质、赤道半径、扁率及其自转角速度这四个参数。
将（4.2.5）式中()f u \()g u 的表达式代入（4.2.7）式，得根据（4.2.5）式，有根据（3.3.19）式，有=时，即在旋转椭球面上，有当u c'e为子午椭圆的第二偏心率，将（4.3.4）式代入（3.3.19）式、（4.3.3）式，化简得q c q c，社区其中的高于2'e的项，得根据（4.3.5）式，可以求出()/'()将（4.3.2）、（4.3.6）式代入（4.3.1）式，化简得到赤道上和两极处的正常重力，即其中m约等于赤道上的离心力与地球重力的比值，它的量级与旋转椭球的扁率相当，约为3×10-3，考虑到α的项，得将（4.3.8）式代入（4.3.7）式，社区含高于2根据（4.3.9）式，可以得出正常场地球模型的总质量M 与它在赤道上的重力e γ、旋转椭球的几何参数a 、c 以及它的自转角速度ω之间的关系：将（4.3.10）式中的正常场地球模型的赞哦高质量M 的表达式代入（3.3.27）式，化简，舍去含高于2α的项，得出正常场地球模型在其表面上产生的重力位0U ，它与赤道上的重力e γ以及旋转椭球的几何参数a 、α和地球自转角速度ω之间的关系为用β表示正常场地球模型的重力扁率，它等于两极的重力与赤道上的重力的差与赤道上的重力的比值，即正常场地球模型的重力扁率β约为5×10-3，它是子午椭圆扁率α的量级，因而把正常重力公式（4.2.10）写成子午椭圆扁率α的级数形式比较方便。
为此，把（4.2.10）式写成考虑到而将（4.3.14）式代入（4.3.13）式，化简得将上式展成α的级数，社区含高于2α的项，得其中从（4.3.16）式中可以看出，正常场地球模型的重力扁率β和旋转椭球的扁率α有下述关系：表示α和β之间关系的（4.3.17）式称为克雷诺定理。
4.4 地球的正常重力位二次导数张量引入局部坐标系123Ox x x ，坐标原点O 选在正常场地球模型表面上任一点，3Ox 轴垂直向下沿该点的正常重力方向，1Ox 向北，2Ox 向东，在这种局部坐标系内，根据（1.9.7）式、（1.9.8）式，正常重力位的二次导数张量在原点O 的两个分量11U 、22U 的表达式分别为其中γ为O点的正常重力，M为子午椭圆在O点的曲率半径，N为旋转椭球面在O点的卯酉圈的曲率半径。
将M、N的表达式（4.1.14）式以及正常重力公式（4.3.15）代入（4.4.1）式，社区含该与2α的项，得把准确至旋转椭球扁率α量级的克雷诺定理（4.3.17）式写成将（4.4.3）式代入（4.4.2）式，得正常重力位在其表面上满足泊松方程将（4.4.4）式代入（4.4.5）式，化简得在m的表达式（4.3.6）式中舍去含高于2α的项，有即m等于赤道上的离心力与赤道上的正常重力的比值。
将（4.4.7）式代入（4.4.6）式，舍去含高于2α的项，得地球正常重力的垂直梯度Uh∂∂等于33U-，即子午椭圆式旋转椭球的主法截线，在所选定的局部直角坐标系内，子午椭圆所在的平面为南北平面，它的方位角等于0，根据（1.9.9）式，与重力等位面主法截线位置有关的正常重力位二次导数张量分量12U 应等于0，即在所选定的局部直角坐标系内，正常重力与经度无关，它与坐标2x 无关，因而在坐标原点O 的重力水平梯度东西分量23U 应等于0，即而重力水平梯度的南北分量为将M 的表达式（4.1.14）式、正常重力公式（4.3.14）式代入上式，舍去含高于2α的项，得（1.8.6）式表明，正常场地球模型垂线在O 点的曲率矢量决定于该点的正常重力水平梯度，将（4.4.11）式、（4.4.12）式和正常重力公式（4.3.15）式代入（1.8.6）式，化简得其中，ρ为正常场地球模型垂线的曲率半径，n 为指向垂线弯曲方向的单位矢量。
4.5 正常大地位的球函数展开地球在其外部空间产生的引力位称为它的大地位．大地位的球函数展开是大地位的重要表示方法、随着空间技术的发展和地面重力测量结果不断积累、确定大地位球函数展开的阶数及其系数的精度越来越高、为了与地球的大地位球函数展开进行对比，需要知道正常大地位的球函数展开。
选取地心直角坐标系123Ox x x ，坐标原点选在正常场地球模型的质心，3Ox 轴沿它的旋转轴，12Ox x 在赤道平面内，根据（3.3.25）式，正常大地位与经度无关，且对赤道面对称，用0θ表示空间点的地心余纬，则正常场大地位球函数展开中只应有0cos θ的偶阶勒让德多项式20(cos )n P θ，根据（2.2.18）式，正常大地位()V r 的形式应为：其中，M 、a 为正常场地球模型的质量和赤道半径，用A 、C 分别表示正常场地球模型对Ox 轴和其自转轴的转动惯量，则根据（2.3.4）式，有因为C A >，所以A C -为一负值，为了使正常大地位球函数展开中的二阶项系数为一正数，习惯上常把（4.5.1）式写成2J 称为地球的动力学形状因子。
将()q u 的表达式（3.3.19）式代入（3.3.26）式化简，得出大地位表达式：其中，'e 为参考椭球子午椭圆的第二偏心率。
根据正常场大地位的表达式（4.5.4）式，可以求出它的大地位球函数展开（4.5.3）式中的系数2n J 。
在两极处，即当地心余纬等于0时，此时改化余纬也应等于0，且椭球坐标u 等于r ，（4.5.3）式、（4.5.4）式变为对比（4.5.6）式、（4.5.7）式，得出正常大地位球函数展开系数：其中，e 为参考椭球子午椭圆的第一偏心率。