地球外部重力异常g 地球外部重力异常 P的严格意义
实际重力位水准面, 实际重力位水准面,通常称为地球等位面 正常重力场水准面, 正常重力场水准面,称为椭球等位面 设地球的外部有一点 P,过 P点 , 点 的地球等位面为 W=Wp 同时, 同时,有一等于同样常数 Wp的椭 U=Wp 球等位面 若过P点的铅垂线和椭球等位面相 若过 点的铅垂线和椭球等位面相 交于Q,则可以说此点对应于P点 交于 ,则可以说此点对应于 点. 地球外部重力异常为 gP = gP – γQ 点的重力与Q点正常重力之差 即P点的重力与 点正常重力之差 点的重力与 W=常数 = U=常数 =
以简明的( 以简明的(2-165)式用于模板法 )
因此最好假设计算点周围半径为ψ 的圆为内部带区, 因此最好假设计算点周围半径为 0的圆为内部带区,把这一内 部带区的影响分离开来.例如对司托克斯积分式就可以变成: 部带区的影响分离开来.例如对司托克斯积分式就可以变成:
可以看到最里面的带区对司托克斯公式的影响, 可以看到最里面的带区对司托克斯公式的影响,在取一次近 似值时,取决于P点的 点的g值 在范宁梅尼兹公式中, 似值时,取决于 点的 值;在范宁梅尼兹公式中,关系于 g的一阶水平导数;而在垂直梯度的公式中,取决于二阶水 的一阶水平导数; 的一阶水平导数 而在垂直梯度的公式中, 平导数. 平导数.
似地形面. 称为似地形面.
重力异常
重力异常是一个标量,分为大地水准面重力异常和 重力异常是一个标量,分为大地水准面重力异常和地面重力 大地水准面重力异常 异常. 异常.
(2-138)
(2-142)
பைடு நூலகம்垂线偏差
扰动位与重力异常,垂线偏差, 扰动位与重力异常,垂线偏差,大地水准面高的关系 扰动位与大地水准面高的关系
沿椭球面法线将大地水准面上 一点 P 投影到椭球面上的 Q 点. 在大地水准面和椭球面之间的距 称为"大地水准面高" 离 PQ 称为"大地水准面高", 或称为"大地水准面起伏" 或称为"大地水准面起伏",以 N 表示. 表示.
似地形面和似大地水准面
都可以找到满足于 Uqi=Wpi 的点 Qi ,由这些点所构成的曲面, 由这些点所构成的曲面,
引入向上延续积分的表达式(2-160),最后得到司托克斯积分. ,最后得到司托克斯积分. 引入向上延续积分的表达式
式中g(r) 表示现在的 是 r 的函数,它可以根据 表示现在的g 的函数,它可以根据(2-160)式由 式中 式由 地面上的重力异常计算.因为此公式自动地从g(r) 中去掉一 地面上的重力异常计算.因为此公式自动地从 阶和零阶的球谐函数,当用g(r) 计算扰动位 T 时,就不能包 阶和零阶的球谐函数,当用 含有这些项.因此, 含有这些项.因此,得出
负号是习惯上使用, 负号是习惯上使用,为了与 定义一致. 定义一致.
式的定义, 按(2-203)式的定义,在南北,东西方向的分量为: 式的定义 在南北,东西方向的分量为:
将司托克斯积分公式代入,可推导出范宁梅尼兹公式: 将司托克斯积分公式代入,可推导出范宁梅尼兹公式: 范宁梅尼兹公式
将司托克斯函数S(ψ) 对 ψ 微分,得出范宁梅尼兹函数 微分,得出范宁梅尼兹函数 范宁梅尼兹函数: 将司托克斯函数
在地球外边
通常采用中心与地球质心重合的平均地球椭球作为正常椭球, 通常采用中心与地球质心重合的平均地球椭球作为正常椭球, 因此, 因此,由(2-34)和(2-92)式得: ) )式得:
kM T =W U = r
* C nm
R * ∑ m=0 r C nm cos mλ + Snm sin mλ Pnm (cos θ ) ∑ n= 2
2-23
重力的垂直梯度, 重力的垂直梯度,归化到海水面的空间改正
使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上,需要从理 使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上, 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题. 论上研究重力垂直梯度的理论改正问题.设地面测的重力为 g, , 大地水准面上的重力为g 大地水准面上的重力为 0,则用泰勒级数展开有
(改进的布阿桑积分式) 改进的布阿桑积分式)
用于解算地球外部的重力异常 用于解算地球外部的重力异常
根据( 根据(2-155)式 )
得出 是谐函数,能用于布阿桑公式( ),得 可见 rg 是谐函数,能用于布阿桑公式(2-159),得 ),
这是一个从地球面上重力异常计算地球外部空间重力异常的 公式,或者说是向上延续计算重力异常的公式. 公式,或者说是向上延续计算重力异常的公式.
2.网格法(图2-23).这种划 .网格法 图 . 分采用某种座标系的格网, 分采用某种座标系的格网, 一般是采用地理座标φ . 一般是采用地理座标 ,λ. 它们构成的方格区域, 它们构成的方格区域,如 10× 10 或1×1 ,也称为 × × 方块,虽然它们不是平面几 方块, 何中所定义的方块. 何中所定义的方块.
这就是著名的布隆斯公式,它表示大地水准面起伏和扰 公式, 动位的关系. 动位的关系.
扰动位与重力扰动的关系
扰动位与重力异常的关系
最后的公式给出了扰动位与重力异常,扰动重力, 最后的公式给出了扰动位与重力异常,扰动重力, 大地水准面高之间的关系
我们通常假设大地水地面以外没有质量,在此情况下, 我们通常假设大地水地面以外没有质量,在此情况下,大地 水准面之外的密度处处为零,异常位T为谐函数 为谐函数, 水准面之外的密度处处为零,异常位 为谐函数,并满足拉 普拉斯方程
扰动位与垂线偏差关系
2-14
扰动位的球谐函数展开式
是谐函数,它可以展开为球谐函数的级数: 由于异常位 T=W-U 是谐函数,它可以展开为球谐函数的级数:
Tn(θ, λ)为 n 阶的拉普拉斯面谐函数.将级数 式对r 为 阶的拉普拉斯面谐函数.将级数(2-152)式对 进行 式对 微分,则得重力扰动的球谐函数表达式: 微分,则得重力扰动的球谐函数表达式:
n
∞
n
(
)
C nm = N C n ,0 C n ,0
m≠0 m=0
N C n ,0 为正常引力
位系数
由边界条件式得: 由边界条件式得:
kM g = 2 r R * ∑ m=0 ( n 1 ) r Cnm cos mλ + Snm sin mλ Pnm (cos θ ) ∑ n= 2
2-16
司托克斯公式
如果只知道地面上的重力异常,基本方程式(2-154) 如果只知道地面上的重力异常,基本方程式
就只能作为边值条件.但是,应用 式向上延续积分, 就只能作为边值条件.但是,应用(2-160)式向上延续积分,就 式向上延续积分 能计算地球外部的重力异常.这就改变了基本方程式的意义, 能计算地球外部的重力异常.这就改变了基本方程式的意义, 积分的实在的微分方程式. 使之成为一个可以对 r 积分的实在的微分方程式. 将上式乘以 – r2
利用边值条件 (2-148),则大地水准面以外每个点的 T 值 , 均可以确定. 均可以确定. 将边值条件写成
大地水准面上各点的g 值假设都已知,那么,在这个面上T 大地水准面上各点的 值假设都已知,那么,在这个面上 有线性的组合.依据1-l 节 和T/n 有线性的组合.依据 7节,T 值的确定乃是位论中 的第三边值问题. 如果解出T 再应用布隆斯公式(2-144), 的第三边值问题. 如果解出 值,再应用布隆斯公式 , 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量, 就可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量,即大地 水准面起伏 N. .
关于本章地球重力场的一些注记
司托克斯问题的提出, 司托克斯问题的提出,使我们在研究地球形状及地球重力场 不必牵涉地球内部的结构问题. 时,不必牵涉地球内部的结构问题.我们只要知道水准面的 形状,总质量以及旋转的角速度, 形状,总质量以及旋转的角速度,就可以推求水准面上或其 外部的重力场. 外部的重力场. 地球形状的研究是司托克斯问题的反问题, 地球形状的研究是司托克斯问题的反问题,即根据水准面上 的重力分布以确定水准面的形状. 的重力分布以确定水准面的形状.虽然司托克斯问题的解是 唯一的,但反问题则可能有不同的解.也就是说, 唯一的,但反问题则可能有不同的解.也就是说,在同一种 重力分布的情况下,可以有各种不同的形状去适应它.所以, 重力分布的情况下,可以有各种不同的形状去适应它.所以, 这个反问题不可能有一个普通的解. 这个反问题不可能有一个普通的解.对于一些和某种规则形 状很接近的体形,一般是采用逐步趋近的办法去解决.例如, 状很接近的体形,一般是采用逐步趋近的办法去解决.例如, 地球的大地水准面与椭球面很接近, 地球的大地水准面与椭球面很接近,我们可以根据它上面的 重力分布, 重力分布,按照司托克斯的公式来推算出它的表面与椭球面 的偏差—高程异常 高程异常. 的偏差 高程异常.
(2-162) )
(2-162)由司托克斯导出,称为司托克斯函数 )由司托克斯导出,称为司托克斯函数
(2-162) )
垂线偏差, 2-22 垂线偏差,范宁梅尼兹公式
根据司托克斯公式可以用重力异常计算大地水准面的起伏, 根据司托克斯公式可以用重力异常计算大地水准面的起伏,范 宁梅尼兹导出一个由重力异常计算垂线偏差的类似公式. 宁梅尼兹导出一个由重力异常计算垂线偏差的类似公式. 表示一个任意方位的垂直面与大地水准面, 图2-20表示一个任意方位的垂直面与大地水准面,参考椭球面 表示一个任意方位的垂直面与大地水准面 的交线. 为这个面内的垂线偏差分量, 的交线.如果 ε 为这个面内的垂线偏差分量,则有
n ∞ n
(
)
由布隆斯公式得: 由布隆斯公式得:
kM N= = 2 γ rγ T R * ∑ m=0 r C nm cos mλ + Snm sin mλ Pnm (cos θ ) ∑ n= 2