此外, y 2 也是方程的解。
练习 解
求解方程
y xy' ( y' )
注意观察方程的解的特点
dy y' p dx
克莱洛方程 Clairant Equation
p p xp ( p) p ( x ( p)) p 0
p 0 pc
x ( p) y cx (c)
2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示
Implicit First-Order ODE and Parameter Representation
•本节要求
掌握下列四种类型方程的解法（参数表示）：
(1)、y f ( x, y)
(3)、F ( x, y) 0
(2)、x f ( y, y)
dy (t ) 解法： 引入变换 x (t ) 从(2.4.7)得到 y dx (or 引入变换 y (t )从(2.4.7)得到 x (t ) ）
dy (t )dx (t ) (t )dt
dy (t ) (t )dt
y (t ) (t )dt c
x2 cx c 2 中的每一条积分曲线均 此解与通解 y 注意: 2 相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给
出奇解的确切含义。P103
x y cx c 2 2
y
2
x2 y 4
x o
2 、不显含y( 或x的方程 )
3 F ( x, y) 0
(2.4.7)
' (t ) x dt c (t )
dy (t ) dx (or 引入变换 y (t )从(2.4.7)得到 y (t ) ) 1 1 dx dy (t )dt dy (t )dx (t ) (t )
4
F ( y, y) 0
dy p dx
x2 y p 2 xp 将它代入 2
得方程的通解
x2 2 y cx c 2
dy 2 dy x y( ) x dx dx 2
再由 2 p x 0 得
2
dy p dx
x p 2
2
x2 x 2 ，又得方程的一个解 y 将它代入 y p xp 4 2
当
c 3 2 p 2 4 p 2c 1 3 p p 2
( p 0)
p=0 时, 由 y p 3 2 xp 可知，y=0也是方程的解。
(
dy 3 dy ) 2x y 0 dx dx
dy y p3 解法2： 解出x，并令 dx p ,得 x 2p 两边对y求导 2 dp 3p 2 p2
y f ( x, ( x, c)) 就是(2.4.1)的通解。
(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 x ( p, c) ，则原方程(2.4.1) 有参数形式的通解
其中 p 是参数，c为任意常数。
x ( p, c) y f ( ( p, c), p)
(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ( x, p, c) 0，则原方程(2.4.1)
1 f dp p y f dy p
即
2
dy x f ( y, ) dx
若求得为 则(2.4.4)的通解为
(2.4.4)
p ( y, c) x f ( y, ( y, c)) ( y, p, c) 0
x f ( y, p ) ( y, p, c) 0
两边关于 x 求导，并把 p
y f ( x, p) (2.4.2)
dy dx
代入，得
f f dp p (2.4.3) x p dx
关于 x 和 p 显式方程
f p dp x f dx p
(i)
若已得出(2.4.3)的通解形式为, p ( x, c) 代入(2.4.2)得
转 化
y f ( x, y) x f ( y, y)
F ( x, y) 0 F ( y, y) 0
作业: P.69 第 1, 3, 4题
1 f dp p y f dy p
若求得为
则(2.4.4)的通解为
例1
求解方程
dy 3 dy ( ) 2x y0 dx dx
得
dy p 解法1： 解出 y 令 dx
两边对
y p 3 2xp
x 求导
dp dp p 3p 2x 2p dx dx
2
3 p 2 dp 2xdp pdx 0
则，方程的参数形式通解为
x (t ) y (t ) ' (t )dt c
3 F ( x, y) 0
特殊情形
令
(2.4.7)
y dy p dx
x ( p)
dy pdx p ( p)dp
y p ( p )dp c
特殊情形 令
(2.4.8)
dy y p dx
y ( p)
1 1 dx dy ( p ) dp p p 1 x ( p)dp c p ( p) dp c x p 通解为 y ( p) 若 F ( y,0) 0 有实根 y k 则 y k 也是方程的解。
通解
x ( p) y ( p) p ( p)
奇解
小结
F ( x, y, y) 0
能解出 y 不能解出 y 或 解出形式复杂
y f ( x, y)
转 化
变量分离、线性、恰当方程等
熟练掌握
引 进 参 数 变 量 变 换
F ( x, y, y) 0
2
令 2 y yt 把 y 2 yt代入原微分方程 得
y 2 ( yt 1) y 2t 2
1 y t t
1 t 2 且 y 由此得 1 1 1 1 dy x c d ( t ) 2 dt dx 2 t t y 1 t t
1 x c t 方程的参数形式的通解为 y 1 t t
当 p 0 时，上式乘以 p，得
3 p 3 dp 2 xpdp p 2 dx 0
积分，得
3p4 2 xp c 4
3 4 c p 解出 x，得 4 x p2 3 将它代入 y p 2 xp
3 4 2( c p ) 4 y p3 p
x 因此，方程参数形式通解 y
(4)、F ( y, y) 0
1、可以解出y (或x )的方程
dy 1. y f ( x, ) (2.4.1) dx
dy 这里假设函数 f ( x, ) 有连续的偏导数. dx
dy y f ( x, ) (2.4.1) dx
dy 解法：引进参数 P ,则 (2.4.1) 变为 dx
例3 解
x y ' 3 xy 0 令 y p tx 3t 2 3t 从而 p 则 由方程，得 x 3 1 t3 1 t 3t 2 9(1 2t 3 )t 2 dx dt 于是 dy 3 3 3 1 t (1 t )
求解方程
3 3
dy 这里 y dx
x ( p) 通解为 y p ( p)dp c
4
F ( y, y ') 0
(2.4.8)
解法： 引入变换 y (t ) 从(2.4.7)得到 y
' (t ) dt c x (t ) 则，方程的参数形式通解为 y (t ) 若 F ( y,0) 0 有实根 y k 则 y k 也是方程的解。
( x, p, c) 0 有参数形式通解 y f ( x, p)
其中p是参数,c为任意常数。
2
解法
两边对y求导
dy x f ( y, ) dx
dy p dx
(2.4.4)
x f ( y, p) (2.4.5)
1 f f dp (2.4.6) p y p dy
( p 0)
pdy ydp 2 p 3 dp 0
2 yp p 4 c
c p4 p3 c p4 c 3p4 2p y x 2p 2p 4 p2 c 3 x p2 所以，方程的通解为: 4 p2 4 p0 3 此外，还有解y=0 y c p 2p 2
例2
dy 2 dy x 2 求解方程 y ( ) x dx dx 2
x2 2 解 令 y p xp 得 2 dp dp x px 两边对 x 求导，得 p 2 p dx dx dp dp p xc ( 1)( 2 p x) 0 1 0 dx dx
9(1 2t 3 )t 2 3 1 4t 3 y dt c 3 3 3 2 (1 t ) 2 (1 t ) 3t x 1 t 3 3(1 4t 3 ) 通解为 y c 3 2 2(1 t )
例4 解
求解方程
) (2 y)2 y (1 y