一维热传导方程求解例题
例题：
考虑一个长度为L的杆，其左端温度为T1，右端温度为T2，且假设杆的横截面面积恒定。

我们可以使用一维热传导方程来描述这个问题的温度分布。

一维热传导方程为：∂T/∂t = α * ∂²T/∂x²，其中T表示温度，t表示时间，x表示空间坐标，α表示热扩散率。

已知左端边界条件为T(0, t) = T1，右端边界条件为T(L, t) = T2。

初始条件为T(x, 0) = T0(x)，其中T0(x)是初始时刻的温度分布。

要求解这个一维热传导方程，找出任意时刻的温度分布T(x, t)。

解题过程：
首先，可以将方程进行分离变量，设T(x, t) = X(x) * T(t)。

代入一维热传导方程得到：X''(x) * T(t) = α * T''(t)，其中X''(x)表示X(x)的二阶导数。

由于边界条件和初始条件都与时间t无关，可以得到X(x)的通解为：X(x) = A * cos(πx/L) + B * sin(πx/L)，其中A和B为常数。

根据边界条件，可以得到：X(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A = T1 和X(L) = A * cos(π) + B * sin(π) = -A + B = T2。

通过解这个方程组，可以得到A = (T1 + T2)/2和B = (T1 - T2)/2。

因此，杆内任意时刻的温度分布为：T(x, t) = (T1 + T2)/2 * cos(πx/L) + (T1 - T2)/2 * sin(πx/L)。