第七章 一阶线性偏微分方程7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。

1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=t y x dtdy y x dt dx 2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx 2 ，当0=t 时，1==y x 3）xy dz z x dy y z dx -=-=- 解 1） 方程组的两式相加，得t y x dt y x d ++=+)(2)(。

令 y x z +=，上方程化为一阶线性方程t z dtdz +=2， 解之得412121--=t e C z t 即得一个首次积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-。

方程组的两式相减，得t dty x d -=-)(， 解之得另一个首次积分为 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

易验证 021111det det 2211≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂x x y x 。

因此，11),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为121)4121(),,(C e t y x y x t t =+++=Φ-， 22221),,(C t y x y x t =+-=Φ。

从中可解得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+'-'=---'+'=81414181414122212221t t C e C y t t C e C x t t 。

2）方程组的两式相比，得 yx y x dy dx --=2， 变形得恰当方程 02=--+x d y y d x y d y x d x ，解之得一个首次积分为 12222C xy y x =-+，即 =Φ),,(1y x t 2122)(C y y x =+-。

给方程组第一式乘以y ，第二式乘以x ，再相减得])[()22(2222y y x xy y x y x x y +--=-+-='-'，1)(22-=+-'+'-'-'yy x y y y x y y x y ， 1)(22=+-'+'-'-'-y y x y y y x y y x y 两边积分，得另一个首次积分为=Φ),,(2y x t 2arctanC t y x y =--， 易验证 211),,(C y x t =Φ和22),,(C y x t =Φ是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为2122)(C y y x =+-，2arctan C t yx y =--， 通解为 ⎩⎨⎧'+'='-'+'+'=t C tC y t C C t C C x s i n c o s s i n )(c o s )(211212，其中211sin C C C ='，212cos C C C ='。

容易得满足0=t 时，1==y x 的解为⎩⎨⎧=-=t y t t x cos sin cos 。

3） 三个分式相加，得xy dz z x dy z y x d -=-=++0)(，则一个首次积分为 1C z y x =++。

给三个分式的分子分母分别乘以z y x ,,，再相加，得xy zdz z x ydy z y x d -=-=++0)(222， 又得另一个首次积分为 2222C z y x =++。

容易验证1C z y x =++，2222C z y x =++是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为1C z y x =++，2222C z y x =++。

评注：求首次积分时，注意利用部分方程的相加、相减、相比，利用比例的基本性质等。

还要注意验证首次积分的独立性。

7-2 求下列方程的通解及满足给定条件的解。

1）0)( )( )2( 22=∂∂-+∂∂++∂∂--zu xz xy y u xz xy x u y yz z 2）)(9)2()2(333443y x z yz y x y x z x x y -=∂∂-+∂∂- 3） z y x zu y x u y u x u z x u u z y ++=∂∂+++∂∂+++∂∂++)()()( 4） ,nu zu z y u y x u x =∂∂+∂∂+∂∂n 为自然数。

5） 0=∂∂+∂∂y z x z yz， 3,0y z x == 解 1）这是一阶线性齐次偏微分方程，它的特征方程组为xz xy dz xz xy dy yyz z dx -=+=--222， 由此得zy dz z y dy -=+ 即得一个首次积分为 1222C z yz y =--。

又由xz xy dz xz xy dy yyz z dx -=+=--222，得 zy dz z y dy y yz z xdx -=+=--222， 22222zyz zdz zy y ydy y yz z xdx -=+=--， 利用合比性质得022222zdz ydy xdx zyz ydz zy y ydy y yz z xdx ++=-=+=--， 则另一个首次积分为 2222C z y x =++。

容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的通解)2,(22222z yz y z y x u --++Φ=其中Φ为任意二元连续可微函数。

2）原方程的特征方程组为)(922333443y x z dz y x y dy x x y dx -=-=-， 由此得3333339)2()2(y x z dz x y x y y dy x dx -=-+-+， 即)(33)(33333x y z dz x y y dy x dx --=-+。

因此131ln C xyz '=所以得特征方程组的一个首次积分 131C xyz =。

又 433422xxy y x y dx dy --=为齐次方程，令ux y =，则 2234--=+u u u dx du x u 分离变数，得x dx du u u u =+-)1(233， 即x dx du uu u =-+)213(32， 积分可得2231ln C xu u '=+。

因而得另一首次积分22233C yx x y =+， 容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解0),(223331=+Φyx x y xyz ， 其中Φ为任意二元连续可微函数。

3） 原方程的特征方程组为 zy x du y x u dz x u z dy u z y dx ++=++=++=++。

由合比性质得xy dy dx u z y x du dz dy dx --=++++++)(3 由此可得一个首次积分131)()(C x y u z y x =-+++。

同理，由yz dz dy u z y x du dz dy dx --=++++++)(3， 可得另一个首次积分231)()(C y z u z y x =-+++。

再由 zu du dz u z y x du dz dy dx --=++++++)(3， 得第三个首次积分331)()(C z u u z y x =-+++。

容易验证这三个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解 0))()(),()(),()((313131=-+++-+++-+++Φz u u z y x y z u z y x x y u z y x 其中Φ为任意三元连续可微函数。

4） 原方程的特征方程为 nudu z dz y dy x dx === 不难求得三个独立的首次积分321,,C xu C x z C x y n ===。

于是，原方程的隐式通解为0),,(=Φn xu x z x y 其中Φ是各变元的连续可微函数。

若能解出u ，则得通解),(xz x y F x u n =。

其中F 为各变元的连续可微函数。

5）这是一阶拟线性偏微分方程，它的特征方程组为1dz dy yz dx ==。

先求得一个首次积分为 2C z =。

代入得 12dy y C dx =， 解得另一个首次积分为 2222C y C x =-，即122C zy x =-。

容易验证这两个首次积分相互独立，故得原方程的隐式解0),2(2=-Φz zy x其中Φ是任意的二元连续可微函数。

将3,0y z x ==代入2C z =和122C zy x =-，得5231C C -=，故所求满足条件的解为 325)2(zy x z --=，即325)2(x zy z -=。

评注：求解一阶线性齐次偏微分方程或拟线性偏微分方程，实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。

7-3 求与下列曲面族正交的曲面（a 为任意常数）。

1） axy z =2） a xyz =解1）设所求曲面方程为),(y x z z =，则过曲面上任一点),,(z y x 的法线方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∂∂∂∂1,,y z x z ，而曲面axy z =在),,(z y x 的法线方向为{}1,,-ax ay 。

由于所求曲面与axy z =正交，所以在曲面),(y x z z =上的点满足01=+∂∂+∂∂yz ax x z a y ， 这是一个一阶拟线性偏微分方程。

它的特征方程组为 1-==dz ax dy ay dx ， 由axdy ay dx =，解得它的一个首次积分为1221),,(C y x z y x =-=Φ。

由1-=dz ay dx 和axy z =，得1-=dz ayx xdx ， 即zdz xdx -=，另一个首次积分为2222),,(C z x z y x =+=Φ。

由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂z x y x z y xz y x 202022222111， 042002det det 2211≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂xz z x z y z y ，即z x ,解不为零时，其中的一个二阶子 矩阵的行列式不为零。

所求曲面方程),(y x z z =满足0),(2222=+-Φz x y x ，其中Φ是任意的二元连续可 微函数。

)b 设所求曲面方程为0),,(=z y x u ，则过曲面上任一点),,(z y x 的法线方向为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,，而曲面a xyz =在),,(z y x 的法线方向为{}xy xz yz ,,。

由于所求曲面与a xyz =正交，所以在曲面0),,(=z y x u 上的点满足0=∂∂+∂∂+∂∂zu xy y u xz x u yz ， 这是一个一阶线性齐次偏微分方程。