一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。

一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。

但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。

然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。

先看几个例子。

例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。

2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。

〔〕叫做〔〕的首次积分。

注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。

因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。

为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。

将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。

1dt积分得--WORD格式--可编辑--arctan yC2，tx〔〕其中C2为积分常数。

利用首次积分〔〕和〔〕可以确定〔〕的通解。

为此，采用极坐标x rcos,y rsin，这样由〔〕和〔〕推得112tC1,t C2. r2e或r1,C2t.1C1e2t因此我们得到方程组〔〕的通解为x cosC22t t，ysinC2t2t.1C1e1C1e 〕duvw,dt例2求解微分方程组dv wu, dtdwuv.dt〕其中0是给定的常数。

解利用方程组的对称性，可得du dv dw0,u v wdt dt dt 从而得到首次积分u2v2w2C1,〔〕其中积分常数C10。

同样我们有2u du2v dv2w dw0,dt dt dt由此又得另一个首次积分2u22v22w2C2,--WORD格式--可编辑--〔〕其中积分常数C20。

有了首次积分〔〕和〔〕，我们就可以将u和v用w表示，代入原方程组〔〕的第三式，得到dw a Aw2bBw2,dt〔〕其中常数a，b依赖于常数C1和C2，而常数A0,B0.注意〔〕是变量可别离方程，别离变量并积分得到第三个首次积分dw t C3,(a Aw2)b Bw2〔〕其中C3是积分常数。

因为方程组〔〕是三阶的，所以三个首次积分〔〕、〔〕和〔〕在理论上足以确定它的通解u t,C1,C2,C3,v t,C1,C2,C3,w t,C1,C2,C3.但是由于在式〔〕中出现了椭圆积分，因此不能写出上述通解的具体表达式。

现在我们考虑一般的n阶常微分方程dy if i x,y1,y2,,y n，i1,2,n,dx〕其中右端函数f i x,y1,y2, ,y n在DR n1内对x,y1,y2,L,y n连续，而且对y1,y2,,y n是连续可微的。

定义1设函数VVx,y1,y2,L,y n 在D的某个子域G内连续，而且对x,y1,y2,L,y n是连续可微的。

又设Vx,y1,y2,L,y n 不为常数，但沿着微分方程〔〕在区域G内的任意积分曲线:y1y1x,y2y2x,L,y n y nxx J--WORD格式--可编辑--函数V 取常值；亦即Vx,y 1x,y 2x,Ly n xC 常数x J ，或当(x,y 1,y 2,L,y n )时，有Vx,y 1,y 2,L,y n =常数，这里的常数随积分曲线而定，那么称Vx,y 1,y 2,L,y n =C 〔〕为微分方程〔〕在区域G 内的首次积分。

其中 C 是一个任意常数，有时也称这里的函数Vx,y 1,y 2,L,y n 为〔〕的首次积分。

例如〔〕和〔〕都是微分方程〔〕在某个区域内的首次积分。

这里对区域G 有限制，是要求首次积分〔〕和〔〕必须是单值的连续可微函数。

因此区域内不能包括原点，而且也不能有包含原点的回路。

同理，式〔〕、〔〕和〔〕都是方程〔〕的首次积分。

对于高阶微分方程〔〕，只要做变换〔〕，就可以把它化成一个与其等价的微分方程组。

因此，首次积分的定义可以自然地移植到n 阶方程〔〕。

而其首次积分的一般形式可以写为V x,y,y ',L,y n1C 。

〔〕例如，设二阶微分方程组d 2x2，dt 2asinx0a0为常数用dx乘方程的两端，可得dtdxd 2x 2dx0，dtdt 2a sinx dt然后积分，得到一个首次积分--WORD 格式--可编辑--1dx 2a2cosxC。

2dt一般的，n阶常微分方程有n个独立的首次积分，如果求得n阶常微分方程组的n个独立的首次积分，那么可求n阶常微分方程组的通解。

首次积分的性质和存在性关于首次积分的性质，我们不加证明地列出下面的定理。

定理1设函数x,y1,y2,L,y n在区域G内是连续可微的，而且它不是常数，那么x,y1,y2,L,y n C〕是微分方程〔〕在区域G内的首次积分的充分必要条件是xf1L f n0 y1y n〕是关于变量x,y1,y2,L,y n G的一个恒等式。

这个定理实际上为我们提供了一个判别一个函数是否是微分方程〔〕首次积分的有效方法。

因为根据首次积分的定义，为了判别函数V x,y1,y2,L,y n是否是微分方程〔〕在G内的首次积分，我们需要知道〔〕在G内的所有积分曲线。

这在实际上是由困难的。

而定理1防止了这一缺点。

定理2假设微分方程〔〕的一个首次积分〔〕，那么可以把微分方程〔〕降低一阶。

设微分方程组〔〕有n个首次积分i x,y1,y2,L,y n C i i 1,2,L,n，〔〕如果在某个区域G内它们的Jacobi行列式--WORD格式--可编辑--D1,2,L,n0，D y1,y2,L,y n〔〕那么称它们在区域G内是相互独立的。

定理3设微分方程〔〕的n个相互独立的首次积分〔〕，那么可由它们得到〔〕在区域G内的通解y ii x,C1,C2,L,C n i 1,2,L,n，〔〕其中C1,C2,L,C n为n个任意常数〔在允许范围内〕，而且上述通解表示了微分方程〔〕在G内的所有解。

关于首次积分的存在性，我们有定理4设p0x0,y10,L,y n0G，那么存在p0的一个邻域G0G，使得微分方程〔〕在区域G0内有n个相互独立的首次积分。

定理5微分方程〔〕最多只有n个相互独立的首次积分。

定理6设〔〕是微分方程〔〕在区域G内的n个相互独立的首次积分，那么在区域G内微分方程〔〕的任何首次积分V x,y1,y2,L,y n=C，可以用〔〕来表达，亦即Vx,y1,y2,L,y n h1x,y1,y2,L,y n,L,n x,y1,y2,L,y n，其中h*,L,*是某个连续可微的函数。

为了求首次积分，也为了下一节的应用，人们常把方程组〔〕改写成对称的形式dy1dy2L dy n dx，f1f2f n1这时自变量和未知函数的地位是完全平等的。

更一般地，人们常把上述对称式写成--WORD格式--可编辑--dy 1dy 2Ldy n,Y 1y 1,y 2,L,y nY 2y 1,y 2,L,y nY n y 1,y 2,L,y n〔〕并设Y 1,Y 2,L,Y n 在区域GR n 内部不同时为零，例如如果设Y n0,那么〔〕等价于dy i Y i y 1,y 2,L ,y ni 1,2,L,n1。

dy nY n y 1,y 2,L,y n〔 〕请注意，式〔〕中的y n 相当于自变量，x i i 1,2,L ,n1相当于未知函数，所以在方程组〔〕中只有n--1 个未知函数，连同自变量一起，共有n 个变元。

不难验证，对于系统〔〕，定理1相应地改写为：设函数y 1,y 2,L,y n 连续可微，并且不恒等于常数，那么y 1,y 2,L,y n =C 是〔〕的首次积分的充分必要条件是关系式Y 1y 1,y 2,L,y ny 1,y 2,L,y n LY n y 1,y 2,L,y ny 1,y 2,L,y ny 1y n〔1.23〕在G 内成为恒等式。

如果能得到〔〕的n-1个独立的首次积分，那么将它们联立，就得到〔 〕的通积分。

方程写成对称的形式后，可以利用比例的性质，给求首次积分带来方便。

例3求dx dy dz的通积分。

yx z--WORD 格式--可编辑--解将前两个式子别离变量并积分，得到方程组的一个首次积分x2y2C1〕其中C1是任意常数，再用比例的性质，得dx y dz，x y z两边积分，又得到一个首次积分x yC2，z〔〕其中C2是任意常数。

〔〕和〔〕是相互独立的，将它们联立，便得到原方程组得通积分x2y2C1，xyC2z.例4求dx dybx dz的通积分。

cybz azcx ay解利用比例的性质，可以得到dx dy dz xdx ydy zdzadxbdycdz.cybz az cxbx ay00于是有xdx ydy zdz0,adx bdy cdz0.分别积分，就得到两个首次积分x2y2z2C1,axbyczC2.将它们联立，就得到原系统的通积分，其中C1和C2为任意常数。

例5求解二体问题，即求解方程组d2x xdt2x2y2z232 d2y ydt2x2y2z232 d2z zdt2x2y2z2320, 0, 0.其中常数GM,G是引力常数，M是相对静止的这个天体的质--WORD格式--可编辑--量。

现在求二体问题的运动轨线。

以x乘第二式两边，以y乘第三式两边，然后相减，得z d2y y d2z0,dt2dt2即d dz dy，y z0dt dt dt积分便得到y dz dyz C1, dt dt〕这里C1是任意常数，用类似的方法，可以得到z dx x dz C2,dt dtx dy y dx C3.dt dt其中C2,C3都是任意常数。