第七章 一阶线性偏微分方程
研究对象
一阶线性齐次偏微分方程
0),,,(),,,()
,,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程
形如
0),,,(),,,(),,,(2122121211=∂∂++∂∂+∂∂n
n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n
R D ⊂内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。

2） 一阶拟线性偏微分方程
形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n
n n n =∂∂++∂∂ （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。

n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+⊂'n R D 内不同时为零。

所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。

3） 特征方程组
常微分方程组
n
n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。

常微分方程组
Z
dz Y dx Y dx Y dx n n ==== 2211 （7.4） 称为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的特征方程组。

4）首次积分
对一般的常微分方程组
),,2,1)(,,,(1n i y y x f dx
dy n i i == （7.5） 其中，右端函数n f f f ,,,21 都在某个域1+⊂'n R D 内连续，设),,,,(21n y y y x Φ=Φ在域D 内连续可微，并且不是常数。

如果以方程组（7.5）的任一解)(,),(),(21x y x y x y n 代入Φ之后，使得函数))(,),(),(,(21x y x y x y x n Φ等于与x 无关的常数，则称表达式C =Φ),,,,(21n y y y x 为方程组（7.5）的一个首次积分，其中C 是任意常数，有时也简称),,,,(21n y y y x Φ为首次积分。

设),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）k 个首次积分，如果雅可比矩阵
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂∂Φ∂n k k k
n n y y y y y y y y y
2122212
1211
1 中某个k 阶子阵的行列式不为零，而所有1+k 阶子阵的行列式都等于零，即雅可比矩阵的秩为k ，则称),,,2,1(),,,,(21n k k i C y y y x i n i ≤==Φ 是方程组（7.5）的k 个独立的首次积分。

2基本理论与基本方法
1）常微分方程组的首次积分解法
定理7.1 设已知微分方程组（7.5）的n 个独立的首次积分
),,2,1(,),,,,(21n i C y y y x i n i ==Φ
则它们构成方程组（7.5）的通积分（或隐式解），并由它们可确定含n 个任意常数的函数组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)
,,,;(),,,;(),,,;(2121222111n n n n n C C C x φy C C C x φy C C C x φy
则该函数组就是微分方程组（7.5）的通解。

常微分方程组的首次积分解法就是通过求方程组（7.5）的n 个独立的首次积分来得到它的通积分（或通解）的方法。

首次积分一般可通过下列两种方法得到
)a 把方程组（7.5）中的部分或全部方程进行重新组合，引进新的变量代换，以获得只含一个未知函数和一个自变量的一阶方程。

)b 利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数。

2）一阶线性齐次偏微分方程与常微分方程组的关系
定理7.2 设函数),,,,(21n y y y x Φ在域D '内连续可微，并且不是常数，则C y y y x n =Φ),,,,(21 是常微分方程组（7.5）的首次积分的充分必要条件为在域D '内成立恒等式
011≡∂Φ∂++∂Φ∂+∂Φ∂n n
f y f y x 。

设),,,(21n x x x u ϕ=在域D G ⊂内连续可微，并且代入方程（7.1）之后，能使该式在域G 内成为恒等式，则称),,,(21n x x x u ϕ=是方程（7.1）的一个解，域G 是该解的定义域。

定理7.3 ),,,(21n x x x u ϕ=是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的解的充分必要条件是C x x x n =),,,(21 ϕ是方程（7.1）的特征方程组
)
,,,(),,,(),,,(2121222111n n n n n x x x X dx x x x X dx x x x X dx === （7.3） 的首次积分。

3）一阶线性齐次偏微分方程的解法
定理7.4 设)1,,2,1( ),,,(21-==n i C x x x i n i ϕ是一阶线性齐次偏微分方程（7.1）对应的特征方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分，),,,(121-Φn u u u 是任意的连续可微函数，则
)),,,(,),,,,(),,,,((211212211n n n n x x x φx x x φx x x φu -Φ= （7.6） 包括了方程（7.1）的所有解，称（7.6）为（7.1）的通解。

对方程（7.1）可给出如下的初始条件
),,,,,(1110n i i x x x x x x f u i i +-== （7.7）
其中i 为n ,,2,1 中某一数，0i x 是给定的数，f 为某一给定函数，求一阶线性齐次偏微分
方程（7.1）满足初始条件（7.7）的解的问题称为初值问题或柯西问题。

定理7.5 假设方程（7.1）中),,2,1)(,,,(21n i x x x X n i =在域D 内连续可微，且0≠i X ，则初值问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂+-==∑),,,,,(0),,,(1111
210n i i x x n
i i n i x x x x f u x u x x x X i
i 存在唯一的解，其中0
i x 是任意给定的数，),,,,,(111n i i x x x x f +-是变元的已知可微函数。

一阶线性齐次偏微分方程的解法
步骤1 首先写出一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组（7.3）。

步骤2 求出常微分方程组（7.3）的1-n 个独立的首次积分)1,,2,1(),,,(φ21-==n i C x x x i n i 。

步骤3写出通解 )),,(,),,,(),,,((111211n n n n x x φx x φ,x x φu -Φ= ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。

4）一阶拟线性偏微分方程的解法
定理7.6 设),,2,1();,,,(21n i c z x x x ψi n i ==是常微分方程组（7.4）的n 个独立的首次积分，那么，若
0),,,(21=Φn ψψψ （7.8）
并能从（7.8）确定函数),,,(21n x x x z z =，则（7.8）即为一阶拟线性偏微分方程（7.2）的通解，其中),,,(21n u u u Φ为n u u u ,,,21 的任意连续可微函数。

一阶拟线性偏微分方程的解法
步骤1 首先写出（7.2）的特征方程组（7.4）。

步骤2 求出（7.4）的n 个独立的首次积分),,2,1();,,,(21n i C z x x x ψi n i ==。

步骤3写出通解 0)),,,(,),,,,(),,,,((11211=Φz x x ψz x x ψz x x ψn n n n ， 其中Φ是各变元的任意连续可微函数。

注：求解一阶线性偏微分方程实际上转化为求解一个常微分方程组的问题。