《线性代数与概率统计》复习题一、填空题1． 200120122= .2. 设,A B 均为n 阶方阵，当,A B 满足 时，有222()2A B A AB B +=++． 3．设,A B 为两个随机事件，且()0.7,()0.6,()0.3P A P B P A B ==-=，则(|)P A B = .4. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得两球颜色相同的概率为 ．5．设随机变量)8.0,1(~B X ，则随机变量X 的分布函数为 ．6．已知方程组123123123202400ax x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则常数a = ．7. 矩阵111121242A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 ．8．随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则Cov(X,Y)＝ ． 9. ===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P B A 则两个事件满足、 ． 10．在正态总体Ｘ～),(2σμN 中取一样本，容量为n ，样本均值为X ，样本方差为s 2，则统计量 sX n )(μ-服从 分布． 二、选择题1. 设矩阵X 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63354321X , 则X = ( ).(A) 73260-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B) 73260⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C) 70632-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D) 70632⎛⎫ ⎪-⎝⎭.2. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解, 则( ). (Ａ) 12ηη-是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解; (Ｃ) 11ξη+是AX O =的解; (Ｄ) 12ξξ+是 AX b =的解. 3. 若),(~p n B X ，且3E X =（），() 1.2D X =，则( ). （A ）5,0.6n p ==； （B ）10,0.3n p ==； （C ）15,0.2n p ==； （D ）20,0.15n p ==. 4. 设X 的分布列为)(x F 为其分布函数，则F (2)＝（ ）． （A ）0.2 ； （B ）0.4 ； （C ）0.8 ； (D) 1． 5. 设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ ）．（A ）)1,0(~N X ； （B ）)1,0(~N X n ；（C ）)1(~/-n t S X ； （D ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .6. 设有m 维向量组12,,,n ααα, 则（ ）．(A) 当m n <时,一定线性相关; (B) 当m n >时,一定线性相关; (C) 当m n <时,一定线性无关; (D) 当m n >时,一定线性无关.7. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解,则下面不正确的是（ ）．(Ａ) 12ξξ+是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解;(Ｃ) 12ηη-是AX O =的解; (Ｄ) 11ξη+是 AX b =的解. 8. 将三个不同的小球随机的放入四个盒子中去，则盒子中球的最大个数为1的概率为（ ）．（A ）3434A ； （B ）3344C ； （C ）3443A ； （D ）4343C .9. 设2~(2,),{24}0.3,{0}X N P X P X σ<<=<=且则（ ）．（A ）0.15； （B ）0.7； （C ）0.35； （D ）0.210. 设总体Ｘ服从参数是λ的指数分布，即其密度函数为0,(,)0,x x e f x y x λλ->⎧=⎨≤⎩0，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，则λ的矩估计量为（ ）．（A ）X ； （B ）2X ； （C ）1X ； （D ）21X. 三、线代计算题1. 设1234012300120001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求1A -.2. 设向量组1(1,2,1,1)α=-，2(2,0,,0)t α=，3(0,4,5,2)α=--的秩为2. (1)求常数t 的值；（2）求该向量组的一个极大线性无关组.3. 已知矩阵460A=350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 求A 的特征值和特征向量．4. 计算 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛390201062317423.5. 已知向量组1(1,1,0)α=，2(1,2,1)α=-，3(5,3,)t α=线性无关，求常数t 满足的条件.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030004a a A ，200040.004⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ 已知A Λ,且常数0a >.（1）求常数a ；（2）求A 的特征值． 四、概率统计计算题1. 设随机变量Ｘ和Ｙ相互独立，下表列出了随机向量（Ｘ，Ｙ）的联合分布及边缘分布的部分数值．（１）将其余数值填入表中空白处；（２）求概率P{Ｘ＝Y}．2. 设随机变量X 的密度函数为1,122(),230,x f x Cx x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪⎩其它． 求（1）常数C ；（2）{12}P X -<<. 3. 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.其它x x f x ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩求随机变量X 的数学期望 E (X )．4. 已知10件产品中有６件正品，4件次品，从中任取2件． （１）求２件全是正品的概率；（２）求至少有1件次品的概率．5. 已知随机变量X 和Y 的概率分布分别为且1}0{==XY P ．（１）求X 与Y 的联合分布；（2）X 和Y 是否独立，为什么？ 6. 设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-.0,0,0,)(x x e A x F x 求（1）常数A ，（2）P {X ≤2}，P {X ≥3}，（3）密度函数f (x ).参考答案一、填空题1． 200120122= .（ 8 ）2. 设,A B 均为n 阶方阵，当,A B 满足 时，有222()2A B A AB B +=++． (AB BA =)3．设,A B 为两个随机事件，且()0.7,()0.6,()0.3P A P B P A B ==-=，则(|)P A B = .（23） 4. 袋中有5个白球和3个黑球，从中任取两个球，则取得两球颜色相同的概率为 ．（1328） 5．设随机变量)8.0,1(~B X ，则随机变量X 的分布函数为 ．（ ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11102.000)(x x x x F ） 6．已知方程组123123123202400ax x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则常数a = ． 12⎛⎫⎪⎝⎭7. 矩阵111121242A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为 ．( 2 )．8．随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则Cov(X,Y)＝ ． （ 12 ）. 9.===)(,)(),()(B P p A P B A P AB P B A 则两个事件满足、 ．（p -1）10．在正态总体Ｘ～),(2σμN 中取一样本，容量为n ，样本均值为X ，样本方差为s 2，则统计量sX n )(μ-服从 分布．（ (1)t n - ）二、选择题1. 设矩阵X 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛63354321X , 则X = ( C ). (A) 73260-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (B) 73260⎛⎫ ⎪-⎝⎭; (C) 70632-⎛⎫ ⎪⎝⎭; (D) 70632⎛⎫ ⎪-⎝⎭.2. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解, 则( Ａ ) (Ａ) 12ηη-是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解; (Ｃ) 11ξη+是AX O =的解; (Ｄ) 12ξξ+是 AX b =的解. 3. 若),(~p n B X ，且3E X =（），() 1.2D X =，则（ A ）6.0,5)(==p n A ； 3.0,10)(==p n B ； 2.0,15)(==p n C ； 15.0,20)(==p n D .4. 设X 的分布列为)(x F 为其分布函数，则F (2)＝（ C ）． （A ）0.2 ； （B ）0.4 ； （C ）0.8 ； (D) 1． 5. 设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有（ D ）。

（A ）)1,0(~N X ； （B ）)1,0(~N X n ；（C ）)1(~/-n t S X ； （D ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .6. 设有m 维向量组12,,,n ααα, 则( A )(A) 当m n <时,一定线性相关; (B) 当m n >时,一定线性相关; (C) 当m n <时,一定线性无关; (D) 当m n >时,一定线性无关.7. 设ξξ１２，是AX O =的解, ,ηη１２是 AX b =的解,则下面不正确的是( B ) (Ａ) 12ξξ+是AX O =的解; (Ｂ) 12ηη+为AX b =的解;(Ｃ) 12ηη-是AX O =的解; (Ｄ) 11ξη+是 AX b =的解.8. 将三个不同的小球随机的放入四个盒子中去，则盒子中球的最大个数为1的概率为（ A ）（A ）3434A ； （B ）3344C ； （C ）3443A ； （D ）4343C .9. 设2~(2,),{24}0.3,{0}X N P X P X σ<<=<=且则（ D ）．（A ）0.15； （B ）0.7； （C ）0.35； （D ）0.210. 设总体Ｘ服从参数是λ的指数分布，即其密度函数为0,(,)0,x x e f x y x λλ->⎧=⎨≤⎩0，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，则λ的矩估计量为（ C ）．（A ）X ； （B ）2X ； （C ）1X ； （D ）21X. 三、线代计算题1. 设1234012300120001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，求1A -。

解：1234100*********(,)0012001000010001A E ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭12210121200012301000012001000010001r r ----⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭2121012120001010120001200100010001r r ----⎛⎫ ⎪--⎪−−−→ ⎪⎪⎝⎭ 132434210001210010001210010001200010001r r r r r r ++--⎛⎫ ⎪-⎪−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭则11210012100120001A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭2. 设向量组1(1,2,1,1)α=-，2(2,0,,0)t α=，3(0,4,5,2)α=--的秩为2. (1)求常数t 的值；（2）求该向量组的一个极大线性无关组.解 (1) ()123120204A=,,1t 5102ααα⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭1201200440110t 250t 30022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⇒⇒ ⎪ ⎪+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 因为()2r A =,则=3t 。