习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 解：线形插值：取 02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nkii i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----=-----01110111()()()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:⎩⎨⎧=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ϕ= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。

可以写成()()n n f x a x ω=''111111()()1()()()()()()k nnnii i i i i i n ni ii i i i i n x x x f x a x ax x x x x x x x ϕϕω===-+==----∑∑∑1210021[,,]1n n nk n x x x a a k n ϕ-≤≤-⎧==⎨=-⎩7.分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton 插值200100120()[][,])()[,,])()(1)N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--=0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2)2(2.1)N =0.693+0.0477-0.0011=0.7419323()1(2)(2)(3)310N x x x x x x x =+--+--f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9) 所以 f(0.596)=0.631952N (0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)， h=0.1 取t=0.7891 2N (0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.54713769≈0.54714 即sin(0.57891)=0.54714后插： 取节点 0.4 0.5 0.62N (0.6+th)=0.56464+0.08521*t-20048.0*t(t+1)，h=0.1 取t= - 0.21092N (0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.540686254069.0≈10.证明差商有线性性质,即若h(x)=)()(21x g c x f c +，其中，21,c c 为常数， 则 ],,[],,[],,[10210110n n n x x x g c x x x f c x x x h += 证明:因为 12()()()h x c f x c g x =+12()()()i i i h x c f x c g x ∴=+ n=0,1……n01120000()()()[,,]()()()nnnj j j n nnnj j j jjji i i i ji ji jh x f x g x h x x x c c xxi xxi xxi ======≠≠≠∴==+---∑∑∑∏∏∏101201[,,][,,]n n c f x x x c g x x x =+11.设,13)(47+++=x x x x f 计算]2,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f解： 7()[,]f x C a b ∈ (7)017()[2,2,2]7!ff ε∴==1 07[2,2]ε∈(8)018()[2,2,2]08!ff ε∴==构造Hermite 多项式插值 解：所以 23232(1)2(1)(2)2895N x x x x x x =+----=-+-+13给出数表试求Hermite 多项式插值 解：232(1)(1)(2)4(1)(2)N x x x x x =+----+--324193114x x x =-+-14.利用差分性质证明：),1(2121+=+++n n n )12)(1(6121222++=+++n n n n15设对每一个整数j, 有,)1(j j f -=ε计算j f 6∆,并对该函数做一个差分表 解：所以 664(1)jj f ε=-16 设函数11,)251(12≤≤-+=-x x y 取hn i hi x i 2,1,0,1==+-=（1）计算函数在这些节点处的函数值，并作 解：取 0126y =211(125(11))y h -=+-+ 21(125(1))yi hi -=+-+22)251(50'i i i x x y +-=，12312)))1(1(251(])(2[)()(---+-++--=j h hh x x x x x S j j+1321)1(251(])(2[)(--+-++--jh hh x x x x j j-2222))1(1(())1(()))1(1(251())1(1(50hh j x hj x h j h j -+--+--⋅-+-+-+--2222)1()1())1(251()1(50hjh x jh x jh jh -+-+⋅+-++-和端点条件(1)0,130==m m ，（2）0,130==MM试分别求满足上述条件的三次样条插值的分段表达式 解：(1)易知：hi=1 j λ=1/2 i μ=1/2 i=0,1,2,3. 由基本方程组： j j j j i c m m m =+++-112μλ和 {}111)()]([3++--+-=j j j j jj j j h y y h y y j c μλ即有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++022102122121210m m m m m 解出：1541-=m 1512=m当]1,0[∈x 时：)1511)(1(151]1541)[1()1(154)1()(22--=---=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x x x x x x x x x x x S 当]2,1[∈x 时：)2()1(151)1()2(154)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=x x x x x S=)37)(1)(2(151x x x --- 当]3,2[∈x 时：)1()3(151)(2--=x x x S（2）因为 j j j j j i c m m m =+++-112μλ 0=j d 0=j c j=0,1,2,310=m 03=m⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000001221221212212210M M Nμλ 解出：2150=λ 0=N λ 1541-=M 1512=M由jj jj j jj jj j jj jjj j h x x h M y h x x h My h x x Mh x x Mx S 12211131)6()6(6)(6)()(-------+--+-+-=知：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈---∈---∈--=]3,2[)4(20)(3(901]2,1[)125(20)(1(901]1,0[)2619)(1(901)(x x x x x x x x x x x x x S18证明函数⎩⎨⎧<≥=000)(3x x x x S ，对任何含0为节点的分划都是三次样条函数19证明式(4.4.32)线性无关。