一、一维分岔 考虑一维随机微分方程()()()()()()()()()dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-⎡⎤⎣⎦ 生成的连续动态系统()()()()()()tt00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142ϕϕσϕ-⎰⎰ () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。

假定()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（）从而0是ϕ的一个固定点。

对此固定点，dB(t)是随机参激。

设m(x)有界，对所有x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-()这保证最多只有一个平稳概率密度。

求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度()()()()122m u p x C x exp[ ] 6.145u xdu σσ-=-⎰（） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。

前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。

为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。

为此，考虑（6.1-41）的线性化方程()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解()()()()()ttV t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-⎰⎰（）动态系统ϕ关于测度μ的Lyapunov 指数定义为()()1lim ln V t 6.148t tϕλμ→∞=-（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数()()()()()()()()001()lim [ln 000]00 lim0(6.1-49)?t tt t B t V m ds dB s m m ttϕλδσσ→∞→∞'''''=++=+=⎰⎰对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数()01 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150tt Rt ϕλνσσσσ→∞''''''=+=+-⎰⎰（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得()2m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ϕλνσ⎡⎤=<-⎢⎥⎣⎦⎰（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （）生成的动态系统族αϕ()0exp[()] 6.1531[()]tx t B t t x x s B s dsαασϕασ+=-++⎰ （）（6.1-53）是以 x 为初值的（6.1-52）之解。

先作变换1Y X -=-，将（6.1-52）化为关于Y 的线性Itô随机微分方程，再按2.5.3中方法得（6.1-53）。

0σ=时，该动态系统存在确定性跨临界分岔。

0σ≠时，对应于两个确定性平衡状态 x 0=与 x α=有两个遍历不变测度。

一个不变测度为αδ，其密度为()x δ，对所有α值成立。

另一个不变测度αν的密度在0α>时为()22/ 12C x exp(2x /), x 0p x 6.1540, x 0ασαασ-⎧->⎪=-⎨≤⎪⎩ （）式中21222/C =(2/)(/2) 6.155αασασσ-Γ-（） 按（6.1-49），关于不动点不变测度αδ的Lyapunov 指数为() 6.156ϕαλδα=-（）由（6.1-51）与（6.1-54），可得关于非平凡平稳状态不变测度αν的Lyapunov 指数() 6.157ϕαλνα=--（）可知，不动点不变测度在0α≤时稳定，而非平凡平稳状态不变测度 在0α>时稳定，从而，D 0αα==是一个D-分岔点。

对概率密度（6.1-54）作极值分析知，除0α=（是一个D-分岔点，也可看成是一个P-分岔点，因为α从负变正，概率密度从δ函数变成峰在x 0=上的普通概率密度）外，在2p /2αασ==处发生P-分岔。

当p 0αα<<时，概率密度在x 0=处最大，随 x 单调下降。

而p αα>时，概率密度在 x 0≠处有一个峰，且() p 00α=。

随机叉形分岔考虑（6.1-41）的另一个特殊情形()()3dX X X dt X dB t 6.158ασ=-+- （）生成的动态系统()()()(){}1/22xexp t B t t x=(6.159)1 2x exp 2s B s ds t αασϕασ+⎡⎤⎣⎦-⎡⎤++⎣⎦⎰0σ=时，动态系统有确定性叉形分岔；0,0σα≠<时，只有唯一的不变测度αδ，其密度为()x δ。

0,0σα≠>时，与确定性动态系统的三个平衡状态相对应有三个不变测度：αδ与两个非平凡平稳状态测度αν±，其密度为()()()22/ 12C x exp(x /), x 0p x 6.1-600, x 0p x p -x 6.161ασαααασ-+-+⎧->⎪=⎨≤⎪⎩=- （）（）式中2-12-2α/σαC =Γ (α/σ )σ。

按（6.1-49）可得关于αδ的Lyapunov 指数 () 6.162ϕαλδα=-（）由（6.1-51）、（6.1-60）及（6.1-61）可得关于αν±的Lyapunov 指数()2 6.163ϕαλνα±=--（）可知，在D 0αα＝＝处发生D-分岔。

对概率密度（6.1-60）作极值分析知，在2p /2αασ=＝处发生P -分岔。

二、二维分岔考虑 Gauss 白噪声参激的 Duffing-van der Pol 振子()2322121121d X dt6.164dX (X X X X X )dt X dB t αβσ=⎧⎪-⎨=+--+⎪⎩ （） 有两个参数α与β。

已知，在0σ=时，固定β，改变α，可发生叉形分岔；固定α，改变β，可发生Hopf 分岔。

随机Hopf 分岔 设0σ≠，固定0α<，增大β使之穿越0β=。

从数值求解与（6.1-64）相应的平稳 FPK 方程观察到[26],当β足够负时，概率密度为在（0，0）上的δ函数，说明（0，0）是稳定平衡状态。

当β增大至1D 0β<时，出现峰在（0，0）上的非平凡平稳概率密度，说明此时（0，0）是不稳定的平衡状态，1D β实际上是一个D-分岔点。

继续增大β至p β，非平凡概率密度变成火山口形，因此，p β是一个P-分岔点。

1D p (,)ββ被Ebeling[27]称为“分岔区”。

这是随机Duffing-van der Pol 振子的 P-分岔过程。

为研究随机 Duffing-van der Pol 振子的D-分岔，需计算（6.1-64） 在（0，0）处线性化方程()0100 6.16510dV Vdt V dB t σαβ⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（） 的Lyapunov 指数。

当1α=-时，已证[25]两个 Lyapunov 指数为()2221,2 ,/2(/4) (,) 6.166C λβθβσβσ=±-（）式中是下列扩散过程平稳测度的二阶矩： ()()()622- 6.167/12-(/2-1)?dZ U Z dt dB t U Z Z Z σβ'=+⎧⎪-⎨=⎪⎩（） 在10D β<处1 λ从负变正，在210D D ββ=->处2 λ从负变正，对小σ值，用摄动法求得()2241,2,/2/8O() 6.168d λβσβσωσ=±+-（）式中()22d /2ωαβ=--。

在()1224/40 D d O βσωσ=-+<处1 λ从负变正，在()2224/40 D d O βσωσ=+>处2 λ从负变正。

Keller 与Ochs[29]通过数值分析发现，当1D ββ<（即210λλ<<）时（0，0）是全局吸引子。

当12D D βββ<<（即210λλ<<）时（0，0）变成不稳定鞍点，它的一维不稳定流形的闭包是一个“混沌”吸引子，闭包的横截面像Canton 集。

当2D ββ>（即210λλ<<）时，（0，0）是不22(,) C βσ稳定节点，它的二维不稳定流形的边界是在穿孔平面{}2 R \0上新吸引子，该边界也有像Canton 集的横截面。

随机叉形分岔 在（6.1-64）中，固定0β<，让α从负变正。

从相应平稳FPK 方程的数值解知，直至α稍大于零，αδ是唯一的不变测度。

当D 0αα>>时，产生一个非平凡的平稳测度，它的密度在（0，0）处有一个峰；继续增大α，非平凡平稳测度的密度有两个峰，可知，随α增大，先后经历了一次D-分岔与一次P-分岔。

用摄动法可求得Lyapunov 指数()()241,22,() (6.1-69)28/4O βσλασσβα=++1λ在()24D 1/2O()?0αβσσ=-+>处改变符号，而2λ总是小于0β<。

因此，只有一次D-分岔。

（6.1-64）的平稳概率密度可用能量包线随机平均法近似求得，据此可分析 P-分岔与第一次D-分岔[30]。