t
d d , s , t t0
也可以解下列普通微分方程得到
RX ( s, t ) a(t ) RX ( s, t ) RXY ( s, t ) t R ( s, t ) E[ X ( s)X ] 0 0 X RXY ( s, t ) a( s)RXY ( s, t ) RY ( s, t ) s R (t , t ) E[ X 0Y (t )] XY 0

s
t
t0 t0tຫໍສະໝຸດ sa ( u )du )

t
t0
E[ X 0Y ( )]e
a ( u ) du
t
t
d

a ( u )du
t
t0
a ( u )du E[ X 0 Y ( )]e d
s
t0

t
t0
RY ( , ) e

s
a ( u )du
a ( u ) du
CX (s, t ) RX (s, t ) mX (s)mX (t ) 2 , s, t 0
DX (t ) CX (t, t ) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程. 内容:
1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限
2.均方可导的正态过程性质
t
a(t ) X (t ) Y (t )
即 X (t ) a(t ) X (t ) Y (t )
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P. 利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t )=E[ X (t )] E[ X 0 e

t0 a (u ) du
t

t
t0
a ( u ) du ) s Y ( s) e ds]
t
RX (s, t ) E[ X (s)X (t )]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
mX (t ) ( EX 0 ) e

t0
t
a ( u ) du

t
t0
a ( u ) du s mY ( s) e ds, t 0
n
E[ X ] 2 D[ X ]
1 22 jt n n t 2 1 jt 2t 2 2
因为 l.i.m X n X ,由均方收敛性质得
(t ) lim n (t ) lim e
n n
=e
所以X是正态随机变量
说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即 推论 若{X(t).t∈T}为一族正态随机变量,且
其中mX (t ), CX (s, t )分别是均值函数和协方差函数．
证明 设a t0 t1
tn b是[a, b]的任一划分,对于每一tk ,
(k =1,2, ,n)a s0 s1
snk t k 是[a, tk ]的任一划分,
1k nk
令k max sl( k ) , max k .对ul( k ) [sl 1 , sl ],
有解，其解为
X (t ) X 0 e

t0 a (u ) du
t

t
t0
a ( u ) du s Y ( s) e ds
t
X (t ) a(t ) X 0 e

t0
t
a ( u ) du
a ( u ) du s ( Y ( s) e ds) t t0
t
a(t ) X 0 e a(t ) X 0 e
a(t ) X 0 e

t0 a (u ) du
t
t
( Y (s) e
t0
t

t0 a (u ) du t0 a (u ) du
t
s
t
s
ds) ds)
ds

t0 a (u ) du
t0 a (u ) du
t
(e
t0 a (u ) du

t
t
Y ( s) e
（m） lim B =B
( m) ( m) 其中 ( m) EX ( m) (1( m) , 2 ,..., n )
( m) B( m) (cov( X i( m) , X i( m) ))nn (ij )nn
EX ( 1, 2 ,..., n )
B (cov( X , X )) ( ij )nn
3.正态过程的均方不定积分性质
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量 .
即若 { X n , n 1}为正态随机变量序列，且 l.i.m X n X , 则X是正态随机变量．
n
证明 记 n (t ) E[e jtX n ], (t ) E[e jtX ]
n E[ X n ], n 2 D[ X n ],
则X ( X1 , X 2 ,
, X n )是n维正态随机向量．
证 设X(m) (u),X (u)分别是X（m） 和X的特征函数
由 l.i.m X m X , 得
m
lim
m
m （m） k
k
m m
m） lim （ ij = ij
（m） 因此 lim
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数 解
mX (t ) 0，RX (s, t ) 2ea( st ) , s, t 0 所以X (t ) N (0, 2e2at ),即解{X (t ), t 0}一维概率密度为
f (t; x) 1 2 e
n 1, t1, t2 ,
, tn T ,以下2n维向量是正态r.v.
, X (tn ), X (tn t ))
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
X (t1 t ) X (t1 ) X (t2 t ) X (t2 ) ( , , t t
X (tn t ) X (tn ) , ) t
( X (t1 ), X (t1 t ), X (t2 ), X (t2 t ),
1 t 1 t 0 0 0 0 0 0 1 t 1 t 0 0 0 0 0 1 t 1 t 2 n n 0
,n
所以导数过程是正态过程.
再利用导数过程的数字特征与原过程数字特征的关系得
(t1 , , tn ; u1 , , un ) exp[ j uk m X (tk )
k 1
n
1 n n 2 uk ul C X (tk , tl )] 2 k 1 l 1 st
定理4 设{X (t ), t [a, b]}为一均方连续的正态过程，
at
由公式解为 X (t ) X 0eat , t 0
e

x2 2 2 e2 at
,t 0
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t ) gt , t 0 X (0) X 0
其中g是常数. 解
X 0 ~ N (0, 2 ).
t
1 2 由公式解为 X (t ) X 0 0 gsds X 0 gt , t 0 2 1 2 1 2 mX (t ) gt , t 0 RX ( s, t ) ( gst ) 2 s, t 0 2 4
l.i.m X (t ) X ,
t t0
则X是正态随机变量．
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限
仍是n维正态随机向量．即
设X m ( X1(m) ,
( m) , Xn )为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若 l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 , n,均有 l.i.m X k( m ) X k , m m
五 均方随机微分方程
在许多科学领域中,存在大量的随机微分方程问题.
如: 随机干扰下的控制问题
通讯技术中的滤波问题……
要解决相关的问题,必须研究和求解随机微分方程.
定理 设二阶矩过程{Y (t ), t t0} 均方连续，a(t)是 普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t ) a(t ) X (t ) Y (t ), t t0 X (t0 ) X 0 (1)
则 X ( m ) (u ) e
m
1 j ( m ) uT uB( m )uT 2
X (u) lim X ( m ) (u)
lim e
m
j
( m ) uT
1 uB ( m )uT 2
e
1 j uT uBuT 2
X 是n维正态随机变量.
推论 若{X1 (t ),
则 l.i.m X (ul( k ) )sl( k ) Y (tk ), k 1, 2,
t 0 l 1
nk
,n
又因为{X(t).t∈[a,b]}为一正态过程,所以
(1) ( X (u1(1) ), X (u2 ) (1) , X (un ), 1 (n) , X (u1( n ) ), X (u2 ), ( n) , X (un ))
t t0
, X n (t ), t T } 为一族n维正态随机向量，
, n, 则X ( X1 ,
且 l.i.m X k (t ) X k , k 1,
, Xn )
是n维正态随机向量．
定理３设{X(t).t∈T}为一正态过程,若对任意的t∈T,