利用X(t)的表达式可以得到其数字特征.即
mX (t)=E[ X (t)]
t
E[
X
0
a(u )du
e t0
t
t
Y
(s)
eபைடு நூலகம்
s
a(u
)
du
)
ds]
t0
RX (s,t) E[X (s)X (t)]
定理 一阶线性微分方程（1）的解的均值函数 和相关函数为
t
mX
(t)
(EX
0
)
e
t0
a (u ) du
))nn
( ) (m) ij nn
EX (1, 2,..., n )
B (cov( X , X )) (ij )nn
则 (u) e X (m)
j ( m) uT 1uB( m)uT
2
X
(u)
lim
m
X
(m)
(u)
j ( m )uT 1uB( m )uT
lim e
2
m
juT 1 uBuT
定理2 n维正态随机向量序列的均方极限 仍是n维正态随机向量．即
设X m
(
X (m) 1
,L
,
X
(m) n
)为一列n维正态随机向量,m=1,2,…
若l.i.m X m X ,即对每个 k 1, 2 m
, n,均有
l.i.m
m
X (m) k
Xk,
则X ( X1, X 2,L , X n )是n维正态随机向量．
因为
l.i.m
n
Xn
X ,由均方收敛性质得
(t)
lim
n
n
(t)
lim
n
e
jtn
1 2
n2t
2
=e
jt 1 2
2t 2
所以X是正态随机变量
说明 以上定理中,若Xn为一族随机变量也成立.即 推论 若{X(t).t∈T}为一族正态随机变量,且
l.i.m X (t) X ,
t t0
则X是正态随机变量．
t
Y
(s)
a(u )du
et0
ds
t0
t
t
a(u )du
e t0
Y
(t) et0 a(u)du
t
a(t
)[
X
0
e
t0
a(u
) du
t
t Y (s) es a(u)du ds] Y (t)
t0
a(t)X (t) Y (t)
即 X (t) a(t) X (t) Y (t)
注意 一阶线性微分方程（1）的解X(t)仍然是S.P.
定理1 正态随机变量序列的均方极限仍是正态随机变量.
即若{Xn, n 1}为正态随机变量序列，且
l.i.m
n
Xn
X,
则X是正态随机变量．
证明 记 n (t) E[e jtXn ], (t) E[e jtX ]
n E[ X n ], E[ X ]
n2 D[ X n ], 2 D[ X ]
2
,
t
0
RX
(s, t )
2
1 4
(gst)2
s,
t
0
CX (s, t) RX (s, t) mX (s)mX (t) 2, s, t 0
DX (t) CX (t, t) 2 , t 0
六 正态过程的随机分析
正态过程是一种重要的二阶矩过程.
内容: 1.正态随机变量序列(正态过程)的均方极限 2.均方可导的正态过程性质 3.正态过程的均方不定积分性质
t
t
Y
(s)
e
s
a(u
) du
t0
ds)
t
t
s
a(t
)
X
0
e
t0
a(u
) du
(
t
Y
(s)
e
t0
a (u ) du t0
a (u ) du
t0
ds)
t
t
s
a(t ) X
0
a(u)du
e t0
a(u)du
(e t0
t Y (s) et0 a(u)du ds)
t0
t
t
s
a(t) X 0 et0 a(u)du a(t)et0 a(u)du
t
t t0
mY
(s)
e
s
a (u ) du
ds,
t0
也可以通过解以下一般的微分方程组得到
mmX X(t()t0)a(tE)mXX0 (t) mY (t), t t0
s
t
RY (s, t) (E
2
a(u)du a(u)du
t0
t0
X ) e 0
s
t
a(u)du)
e t0
t E[ X 0Y ( )]e a(u)du d
f (t; x)
1
e ,t 0
2
x2 2e2
at
2 eat
2. 求解下列随机微分方程，并求其解的数字特征
X (t) gt,t 0
X
(0)
X0
其中g是常数. X0 ~ N (0, 2 ).
解
由公式解为 X (t) X0
t 0
gsds
X0
1 2
gt 2 , t
0
mX
(t)
1 2
gt
X (t)
aX (t) 0,t X (0) X0
0, a
0，其中X 0
:
N（0， 2）
试求 此微分方程的解,解的均值函数,相关函数以及 一维概率密度函数
解
由公式解为
X
(t)
X
e at
0
,
t
0
mX (t) 0，RX (s, t) e2 a(st) , s, t 0
所以X (t) : N (0, e2 2at ),即解{X (t),t 0}一维概率密度为
e 2
X是n维正态随机变量.
推论 若{X1(t),L , X n (t),t T} 为一族n维正态随机向量，
s
RXY
(s,
t)
a(s)RXY
(s,
t)
RY
(s,
t)
RXY (t0,t) E[ X 0Y (t)]
X (t) a(t)X X (t0 ) X0
(t)
Y
(t),
t
t0
(1)
在(1)的两边同乘以X (s) 取期望得
对(1)的两边取共轭再同乘Y(t),并求期望得＊
举例 1. 一阶线性随机微分方程
t0
t
a(u )du
e t0
t
t t0
E[
X
0Y
(
)] e
a(u )du
d
s
t
s t0
t t0
RY
(
,
)
e
a ( u )du
a ( u ) du
d
d
,
s, t t0
也可以解下列普通微分方程得到
t
RX
(s, t )
a(t)RX
(s, t )
RXY
(s, t )
•
RX (s,t0 ) E[ X (s)X 0 ]
证 设X(m)(u),X(u)分别是X（m）和X的特征函数
由 l.i.m X m X , 得 m
lim
m
k（m）
k
lim
m
（ijm）=
ij
因此 lim （m） m
lim B（m）=B
m
其中
(m)
EX (m)
(
1(
m
)
,
(m) 2
,
...,
(m n
)
)
B(m)
(cov( Xi(m),
X
(m) i
定理 设二阶矩过程{Y (t),t t0} 均方连续，a(t)是
普通函数，X0是二阶矩变量，则一阶线性随机 微分方程
X (t) a(t)X
X (t0 ) X0
(t)
Y
(t ), t
t0
(1)
有解，其解为
t
X
(t)
X0
a(u)du
e t0
t
t
Y
(s)
e
s
a (u ) du
ds
t0
t
X (t) a(t) X 0 et0 a(u)du (