e
倍，故可得
y

x
1 ex
在区间 ,2 ，在区间 2, ，当 x

2
时，
ymin


1 e2
．
考点 2 乘除导致凹凸反转同构函数
图5
图6
图7
图8
315
如图
5：
y

x ex

x ex
f

x ，即将
f x 关于原点对称后得到
y

x ex
，故可得
考点 3 顺反同构函数
图9
图 10
图 11
图 12
如图 9： x ln x eln x ln x f ln x ，当 ln x ,1 ，即 x 0, 1 ，当 ln x 1,，即 x 1 , ，
e
e
如图 8： y
ex x
1


1 e


x

1
1

e

x
1
1 e
f


1
x

1

x

0 ，属于分式函数，将
f
1
x
关于原点对称后，左
移一个单位，再将纵坐标缩小
1 e
倍，故可得
y

ex x 1
在区间 1,0 ，在区间 0, ，当
x

0
时， y min
1．
x 0,e

，
ymax

1 e
．
如图 11：ln x 1 e ln ex ef ln ex ，当 ln ex ,1 ，即 x 1, ，当 ln ex 1, ，即 x 0,1 ，
x
ex
ymax 1 ．
如图
A． a e 2
B． a e
C． ae
D． a e 2
【例 2】（2019•广州一模）已知函数 f (x) e|x| ax2 ，对任意 x1 0 ，x2 0 ，都有 (x2 x1)( f (x2 ) f (x1)) 0 ，
则实数 a 的取值范围是（ ） 316
专题 6 同构式下的函数体系
秒杀秘籍：第一讲 关于同构式下的“亲戚函数”
陈永清老师对同构式的评价及总结： 同构解题，观察第一 同构新天地，单调大舞台. 明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！ 秒 1 中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波 澜壮阔之势. 同构式下我们分为两条主线 1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数. 2．同位同构： ①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；
12 ：
ln x x2

1 2
ln x2 x2

1 2
f
ln x2
， 当 ln x2 ,1 ， 即 x
e, ， 当 ln x2 1, ， 即
x 0,
e

，
ymax

1 2e
．
【例 1】（2019•凌源市一模）若函数 f (x) ex ax2 在区间 (0, ) 上有两个极值点 x1 ， x2 (0 x1 x2 ) ，则实 数 a 的取值范围是（ ）
倍，故可得 y x 2 ex 在区间 ,1 ，在区间 1, ，当 x 1时， ymin e ．
如图 4：x 1 ex e1 x 1 ex1 e1 f x 1，即将 f x 向左平移 1 个单位，再将纵坐标缩小为原来的 1
ymin


1 e
．
如 图 10 ： ln x ln x1 x1 f ln x ， 实 现 了 凹 凸 反 转 ， 原 来 最 小 值 反 转 后 变 成 了 最 大 值 ， 当
x

ln
x
,1 ，即
x e,

，当

ln
x 1, ，即
，在区间 1,
，
f
xmin

f
1
1 e
．
图1
图2
图3
ห้องสมุดไป่ตู้图4
考点 1 平移和拉伸得到的同构函数
如图 2： x 1 ex e x 1 ex1 ef x 1 ，即将 f x 向右平移 1 个单位，再将纵坐标扩大为原来的 e 倍，
故可得 y x 1 ex 在区间 ,0 ，在区间 0, ，当 x 0 时， ymin 1 ． 如图 3：x 2 ex e2 x 2 ex2 e2 f x 2，即将 f x 向右平移 2 个单位，再将纵坐标扩大为原来的 e2
②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中
的亲戚函数即可；
③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差 1，我们往往可考虑用同构秒杀之.
关于 f x x ex 的亲戚函数
如图
1：根据求导后可知：
f
x
x ex 在区间 ,1
y

x ex
1
在区间

,2

，在区间
2,

，当
x
2 时，
ymax

1 e2
．
如图 7：y
ex x



x
1 e

x

f
1

x

x

0 ，属于分式函数，将
f
1
x
关于原点对称后得到，故可得
y
ex x
在
区间 0,1 ，在区间 1, ，当 x 1 时， ymin e ．
y

x ex
在区间 ,1 ，
在区间 1,
，当
x
1 时，
ymax

1 e
．
如图
6：
y

x 1 ex

1 x
e
1 e(x1)

1 e
f

x
1 ，即将
f
x 关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐
标缩小 1 倍，得到 e
y

x 1 ，故可得 ex
A． (, e ] 2
B． (, e ] 2
C．[0, e ] 2
【例 3】（2019•荆州期末）函数 f (x) 1 lnx 的单调增区间为（ ） xx
A． (,1)
B． (0,1)
C． (0, e)
D． [ e , 0] 2
D． (1, )
【例 4】（2019•广州期末）函数 f (x) xlnx mx2 有两个极值点，则实数 m 的取值范围是（ ）