专题04 导数与切线（训练篇B ）-用思维导图突破解导数压轴题《挑战压轴题•高中数学•精讲解读篇》（华东师大出版社第1-10版（2009-2019年））、《上海高考好题赏析》（浙江大学出版社2019年）、330多篇论文（文章）作者特级教师文卫星1. 设曲线xe y =在点)1,0(处的切线与曲线)0(1>=x xy 上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 .解 设),(00y x P ，由导数的几何意义知，曲线xe y =在点)1,0(处的切线斜率11=k ，曲线)0(1>=x xy 上点P 处的切线斜率2021x k -=，因为两切线垂直，所以121-=k k ，即1120-=-x ，又00>x ，所以1,100==y x ，所以)1,1(P . 2．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎨⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－e -34.3. 如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解 由题图可知切线过点(0,2)，(3,1)，则曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.故选B 。

4. 已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意，得{ f 0＝b ＝0，f ′0＝－a a ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.5.已知函数.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线的切线.解（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）． 因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=，，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又，，故f （x ）在（0，1）有唯一零点．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为，故点B （–ln x 0，）在曲线y =e x 上． ()11ln x f x x x -=-+e x y =U 212()0(1)f 'x x x =+>-()f x e 110e 1+-<-22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--1101x <<1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-11x 0ln 01e x x -=01x由题设知，即，故直线AB 的斜率．曲线y =e x 在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y =e x 的切线．6. 设函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅰ）求的单调区间. 解 （Ⅰ）因为()a xf x xebx -=+，所以()(1)a x f x x e b -'=-+.依题设，(2)22(2)1f e f e =+⎧⎨'=-⎩,即2222221a a e b e e b e --⎧+=+⎪⎨-+=-⎪⎩，解得2,a b e ==； （Ⅰ）由（Ⅰ）知2()xf x xe ex -=+，由211x x f x e x e --'=-+（）（）即20xe ->知，()f x '与11x x e--+同号.令11x g x x e -=-+（），则1()1x g x e-'=-+，所以，当,x ∈∞（-1)时，()0g x '<，()g x 在区间∞（-,1）上单调递减；当+x ∈∞（1，）时，()0g x '>，()g x 在区间+∞（1，）上单调递增.故=g （1）1是()g x 在区间+∞∞（-，）上的最小值，从而()0g x >,+x ∈∞∞（-，）. 综上可知，()0f x '>,+x ∈∞∞（-，）.故f(x)的单调递增区间为()+-∞∞，. 7. 设1a >，函数()=f x 2(1)xx e a +-.0()0f x =0001ln 1x x x +=-0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----001(ln ,)B x x -01x ln y x =00(,ln )A x x 01x ln y x =00(,ln )A x x a xf (x )xebx -=+()=y f x (2,(2))f 14y (e )x =-+a b ()f x(1)求)(x f 的单调区间；(2)证明：在上仅有一个零点；(3)若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）,证明：． 解 (1)依题意()=f x '2(1)xx e '+2(1)x ++2()(1)xxe x e '⋅=+0≥，所以 在上是单调增函数.(2)因1a >，所以(0)10f a =-<()=f a 2(1)aa e a +-210a a >+->，∴在(0,)a 上有零点;又由（1）知)(x f 在上是单调函数，故)(x f 在上仅有一个零点. （3）由（1）知，令()=0f x '得=1x -，又(1)=f -2a e -，即2(1,)P a e --，即2OP k a e =-.又()=f m '2(1)mm e +，所以22(1)mm e a e+=-. 令()1m g m e m =--，则()=g m '2(1)mm e +，所以由()>0g m '得>0m ，由()<0g m '得<0m ，所以函数()g m 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.所以函数min ()(0)0g m g ==，即()0g m ≥在R 上恒成立，所以1xe m ≥+，所以22(1)m a m e e-=+3(1)m ≥+1m ≥+.故． 8. 已知函数1()e x f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．)(x f (),-∞+∞()y f x =P x (,)M m n OP O 123--≤ea m ()f x (),-∞+∞()f x (),-∞+∞(),-∞+∞123--≤ea m解 （1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=，所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=．（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln ex p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e xx x p x x λ-'=． 假设e λ≤．①若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． ②若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-． 令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数，所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0．记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1，则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． 当1e a ≤时，因为211e exx ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥，所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0。