解直角三角形
知识要点：
1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切
sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边
A ∠,
tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边
的邻边
A A ∠∠
(1)平方关系：1cos sin 2
2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=
A
A
cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：
如果ο
90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο
；tanA=cot （90°-A ）=cotB
2、 解直角三角形
3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用
转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．
已知条件
解法
一边及 一锐角
直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=
sin a A
斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA
两边
两条直角边a 和b
，B ＝90°-A ，
直角边a 和斜边c
sinA=
a
c
，B ＝90°-A ，
例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．
例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则
CD
AC
AB-
等于（）．
A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A
例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．
例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．
例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．
二：可解的非直角三角形的类型与解法
解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．
一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31
+，求△ABC各内角的度数．
B
A D
C
图1
二、
“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积
三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．
五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=
57
，求AC 和BC 的长．
相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为3
100
3，求各角的大小．
2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．
3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．
C
B
D
A B
A C D
图2 A
C
D 图4
B
A C
D
图5
例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若
10,3
1
tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。
例题：由于过度采伐森林和破坏植被，使我国许多地区遭受沙尖暴侵袭。
近日A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正西300公里的B 处以107海里/时的速度向南偏东60ο
的BF 方向移动，距沙尘暴中心200公里的范围是受沙尘暴影响的区域。
（1）通过计算说明A 市是否受到本次沙尘暴的影响？
（2）若A 市受沙尘暴影响，求A 市受沙尘暴影响的时间有多长？
例题：△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知关于x 的方程084)4(2
=+++-c x c x 。
1、 若a 、b 是方程的两根，求证∠C ＝90°。
2、 若在题1的这个直角三角形中，25·a ·sinA ＝9·c ，求a 、b 、c 。
专题训练：
一. 选择题：
1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ）
A.43
B. 3
4
C. 53
D. 35
2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ）
A.
21 B. 3
3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2
2cos =A ，3tan =B
，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG
EF G =sin B. EF
EH G =sin
C. FG
GH G =sin D. FG
FH G =sin
5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A. sin65°<cos26°
B. sin65°>cos26°
C. sin65°=cos26°
D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）
A.
B.
C. D.
7. 在△ABC 中，∠C=90°，5
2
sin =
A ，则sin
B 的值是（ ） A.32 B.52 C.5
4
D. 5
21 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2
A. 150
B.375
C. 9
D. 7
9. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A. 7米
B. 9米
C. 12米
D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A.
α
sin 1 B.
α
cos 1 C.
αsin D. 1
二. 填空题：
11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，2
1
sin =α，当α=__________时，Cota=3. 12. 若
，则锐角α=__________。
13. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，5
3
sin =
A ，36=++c b a ，则a=__________，b=__________，c=__________，cotA=__________。
14. 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为__________。
15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图21所示，则购买地毯至少需要__________元。
三. 解答题：
16. 计算)30cos 30cot 1)(60sin 60tan 1(οοοο+--+
17. 如图22，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB ，求tanD 。
18. 已知直角三角形中两条直角边的差是7cm ，斜边的长是13cm ，求较小锐角α的各三角函数值。
19. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若b ＋c ＝90，∠A －∠B ＝30°，解这个直角三角形。
20. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于E ，∠ADC=45°，若DE ∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD 的面积。
22.在△ABC 中，∠A ＝1200
，AB ＝12，AC ＝6。
求sinB ＋sinC 的值。