2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1.若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ） ①b a 11< ②22b a > ③44bc ac > ④1122+>+c b c a A ．1 B ．2 C ．3 D.42.已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的,m n 的比值mn=（ ） A. 38B ．13C ．29 D.13.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于 （ ） A ．47B ．514C ．7D ．14 4.已知βα,是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线给出下列命题： ①若,,βα⊂⊥m m 则βα⊥； ②若ββαα∥∥n m n m ,,,⊂⊥，则αβ；③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，那么n 与α相交； ④若,n ,n ,m n m αβαβ=⊄⊄，且则n α且n β.其中的真命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．已知{}n a 是等比数列，2312,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n --6．设2z x y =+，其中变量x ，y 满足0,0,0,x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 为（ ）A.33)4(π+ B ．()43π+ C ．()832π+ D ．()836π+8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一 位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七 进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．3603 9.已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若 20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ） A ．322- B ．3 C ．22 D ．322+10．从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这 两点间的距离小于1的概率是（ ）A ．17 B ．37 C ．47 D ．6711．设()211111...123S n n n n n n=++++++++,则（ ）A ．()S n 共有n 项,当2n =时,()11223S =+B ．()S n 共有1n +项,当2n =时,()1112234S =++C ．()S n 共有2n n -项,当2n =时,()1112234S =++D ．()S n 共有21n n -+项,当2n =时,()1112234S =++12.对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有212n n n x x x +++<成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设1122n n tn b t --=-，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（－1，＋∞）B ．（－∞，－1]C ．（1，＋∞）D ．（－∞，1]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卷的横线上)13．数列{a n }满足a 1=1,且a n+1-a n =n+1（n ∈N *）,则数列1{}na 的前10项和为 . 14．已知222log ()log log x y x y +=+，则4911x yx y +--的最小值是_____________. 15．总体编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______.16．已知点(),A a b 与点()1,0B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法：①34100a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值；222a b +>；④当0a >且1,0a b ≠>时，1b a -的取值范围是53,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中所有正确说法的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)17．（本小题10分）已知函数()|21|||2f x x x =+--. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若存在实数x ，使得()||f x x a ≤+，求实数a 的取值范围.18.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足 112n n n a S ++=+*()n N ∈.（1）证明数列{}2nnS 为等差数列 . （2）求12...nS S S +++.19.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面 ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 20.（本小题12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得 到的数据：（1）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（2）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：2 2()K()()()()n ad bca b c d a c b d-=++++，()n a b c d=+++21．（本小题12分）已知关于x的二次函数2()4 1.f x ax bx=-+（1）设集合{}1,1,2,3,4,5p=-和{},Q=-2,-1,1,2,3,4分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数()y f x=在区间[1,)+∞上是增函数的概率.（2）设点（a,b）是区域80,0,x yxy+-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()f x在区间[1,)+∞上是增函数的概率．22.（本小题12分）已知数列{}n a的前n项和n S和通项n a满足1(1)2n nS a=-．（1）求数列{}n a 的通项公式并证明12n S <； （2）设函数13()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++…，若1231111n n T b b b b =++++…..n T 求2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题参考答案一．选择题： AACDC ADBBA DC二．填空题：13.112014. 25 15.01 16. ③④17.（1）(,3][1,)-∞-+∞；（2）3a ≥-.解析：（1）①当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ②当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ③当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥ 综合①②③不等式的解集为(,3][1,)-∞-+∞.（2）即1|21|2||2|+|||122ax x a x x +-≤+⇒-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-.18.（1）证明见解析；（2）()1212+⋅-+n n .解析：（1）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n nn nS S ++-=， 所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++ 212222n n T n =⋅+⋅++⋅①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅②①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅.19．（1）证明见解析；（2）3. 解析：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ， 又1//2AE CD ，∴//AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴//AF EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线//AF 平面PEC .（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，∴3ED =， ∴222AE ED AD +=， ∴ED AB ⊥.PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D =，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .111222PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯=，∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯11382=⨯48=20．（1）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（2）914解析：（1）根据题中的数据计算：22400(5017030150) 6.2580320200200k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （2）由已知得抽样比为818010=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814P ==． 21．(1)49 (2)13解析：（1）函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2,bxa=要使函数2()41,f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，当且仅当0a >且21,ba≤即2.b a ≤ 3分 若1,a =则2,1;b =-- 若2,a =则2,1,1;b =-- 若3,a =则2,1,1;b =-- 若4,a =则2,1,1,2;b =-- 若5,a =则2,1,1,2.b =--∴满足条件的事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16. ∴所求事件的概率为164.369= 7分 （2）由（1）知当且仅当2b a ≤且0a >时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80,(,)0,,0,a b a b a b ⎧+-≤⎫⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭构成所求事件的区域为右图阴影部分. 10分由80,,2a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为168(,),33 ∴所求事件的概率为188123.13882P ⨯⨯==⨯⨯ 14分22．（1）1()3n n a =；证明见解析；（2）证明见解析 解析：（1）当2n ≥时，111(1)(1)22n n n a a a -=---11122n n a a -=-+，12n n n a a a -=-+，∴113n n a a -=，由1111(1)2S a a ==-，得113a =， ∴数列{}n a 是首项113a =，公比为13的等比数列，∴1111()()333n nn a -=⨯=． 111()11331()12313n n n S ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎣⎦==-⎢⎥⎣⎦-， ∵411()13n -<，∴1111()232n ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，即12n S <．（2）∵13()log f x x =， ∴111211123333log log log log ()n n n b a a a a a a =+++= (1213)1log ()3n +++=…(1)122n n n +=+++=…． ∵12112()(1)1n b n n n n ==-++， ∴121111111122(1)()()22311n n n T b b b n n n ⎡⎤=+++=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦……。